高中學測
114年
數B
第 8 題
設 $\Gamma$ 為坐標平面上函數 $y=x^3-x$ 的圖形。試選出正確的選項。
- 1 $\Gamma$ 的對稱中心為原點
- 2 $\Gamma$ 在 $x=0$ 附近會近似於直線 $y=x$
- 3 $\Gamma$ 經適當平移後可與函數 $y=x^3+x+3$ 的圖形重合
- 4 $\Gamma$ 與函數 $y=x^3+x$ 的圖形對稱於 x 軸
- 5 $\Gamma$ 與函數 $y=-x^3+x$ 的圖形對稱於 y 軸
思路引導 VIP
同學，請先由函數的奇偶性定義檢查 $f(-x)$ 與 $f(x)$ 的關係，這如何對應到 $\Gamma$ 的對稱中心？針對局部近似，曲線在 $x=0$ 處的「最佳線性逼近」即為該點的切線，其方程式為何？關於平移性質，請思考三次函數標準式 $y=a(x-h)^3+p(x-h)+k$ 中的特徵參數 $p$ 是否會隨平移而改變？最後，請回憶坐標平面上的對稱變換：在方程式中將變數 $x$ 換成 $-x$ 或將 $y$ 換成 $-y$，分別代表圖形對稱於哪一個坐標軸？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哼，還算乾淨。我仔細檢查過了，這份解答上連一點錯誤的灰塵都沒有，勉強及格吧，小鬼。 聽好了，這題的重點在於對多項式函數特性的掌握：
- 對稱性：函數 $f(x) = x^3 - x$ 滿足 $f(-x) = -x^3 + x = -f(x)$，這代表它是奇函數，對稱中心確實在原點，這點你沒看漏。
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