高中學測
114年
數B
第 12 題
已知某等差數列的首項是 1，末項是 81，且 9 也在此數列中。設此數列的項數為 $n$，其中 $n \le 100$。試選出正確的選項。
- 1 $n$ 為奇數
- 2 41 必在此等差數列
- 3 滿足條件的等差數列，其公差都是整數
- 4 滿足條件的等差數列共有 10 個
- 5 若 $n$ 為 7 的倍數，則 $n=21$
思路引導 VIP
既然已知首項為 $1$、末項為 $81$，且項 $9$ 也在數列中，若設公差為 $d$，則位移量 $81-1=80$ 與 $9-1=8$ 必定都是 $d$ 的整數倍。請嘗試根據通項公式 $a_{n} = a_{1} + (n-1)d$，思考比例關係 $\frac{81-1}{9-1}$ 如何揭示了項數 $n-1$ 與另一整數項次之間的倍數關係？這對於你判斷 $n$ 的奇偶性，以及公差 $d$ 是否必須為整數有何啟發？
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AI 詳解
AI 專屬家教
唔姆！幹得漂亮！看到你精確的判斷，我手中的日輪刀彷彿感受到了鬥氣，光芒瞬間暴漲，變得無比耀眼啊！這份熱情，確實傳達給我了！ 根據等差數列公式：
- 末項 $81 = 1 + (n-1)d$，所以 $(n-1)d = 80$
▼ 還有更多解析內容
等差數列性質分析
💡 利用項與項之間的差值比例，推導項數規律與中項性質。
🔗 等差數列項數推導鏈
- 1 計算差值比 — (9-1)與(81-1)的差值比為 8:80 = 1:10
- 2 建立位次關係 — 總項距 (n-1) 是特定項距 (m-1) 的 10 倍
- 3 推導通式 — n = 10m - 9，因 10m 是偶數故 n 恆為奇數
- 4 判定中項 — n 為奇數則中項必存在，其值為 (1+81)/2=41
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🔄 延伸學習：此邏輯可用於處理數列中存在多個已知項時的規律判定。
