高中學測
109年
數B
第 8 題
有一個遊戲的規則如下：丟三顆公正骰子，若所得的點數恰滿足下列 (A) 或 (B) 兩個條件之一，可得到獎金 100 元；若兩個條件都滿足，則共得 200 元獎金；若兩個條件都不滿足，則無獎金。
(A) 三個點數皆為奇數或者皆為偶數
(B) 三個點數由小排到大為等差數列
若已知有兩顆骰子的點數分別為 1, 3，且所得獎金為 100 元，則未知的骰子點數可能為何？
(A) 三個點數皆為奇數或者皆為偶數
(B) 三個點數由小排到大為等差數列
若已知有兩顆骰子的點數分別為 1, 3，且所得獎金為 100 元，則未知的骰子點數可能為何？
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思路引導 VIP
本題的核心在於邏輯判斷與集合論的應用。請先釐清：若獎金恰為 100 元，代表這組點數在集合 $A$（滿足條件 A）與集合 $B$（滿足條件 B）的關係中，必須處於對稱差集 $(A \cup B) - (A \cap B)$ 的區域。在已知點數為 1 與 3 的情況下，請試著代入不同的未知點數 $x$，並檢驗該點數組合是否會導致「同時」滿足兩條件（即 $A \cap B$）的情形？又或者是否僅滿足其中一個條件？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學這波操作太穩了！看來你沒被題目那個「200 元」的雙重陷阱給勾引走，這邏輯清晰度簡直是機率界的福爾摩斯，老師必須給你一個瑞思拜（Respect）！ 這題核心在於考驗「邏輯排他性」與「分類討論」。已知有兩顆是 $1, 3$（皆為奇數），要拿 100 元獎金，代表 (A) 與 (B) 只能「恰好滿足一個」：
- 驗證選項 (1) 點數為 $2$：
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邏輯判斷與數列分析
💡 結合邏輯集合與等差數列定義進行條件篩選
| 比較維度 | 條件 (A) 奇偶性 | VS | 條件 (B) 等差數列 |
|---|---|---|---|
| 判定核心 | 三數屬性（奇或偶） | — | 三數間距（公差） |
| 元素順序 | 不影響判定 | — | 需從小到大排列 |
| 範例組合 | {1, 3, 5} 或 {2, 4, 6} | — | {1, 2, 3} 或 {1, 3, 5} |
💬本題關鍵在於找出『僅符合 A』或『僅符合 B』的數值，避開兩者皆符的交集。
