高中學測
105年
數B
第 13 題
甲、乙、丙、丁四位男生各騎一台機車約 $A$、$B$、$C$、$D$ 四位女生一起出遊，他們約定讓四位女生依照 $A$、$B$、$C$、$D$ 的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車。其中除了 $B$ 認得甲的機車鑰匙，並且絕對不會選取之外，每個女生選取這些鑰匙的機會都均等。請選出正確的選項。
- 1 $A$ 抽到甲的鑰匙的機率大於 $C$ 抽到甲的鑰匙的機率
- 2 $C$ 抽到甲的鑰匙的機率大於 $D$ 抽到甲的鑰匙的機率
- 3 $A$ 抽到乙的鑰匙的機率大於 $B$ 抽到乙的鑰匙的機率
- 4 $B$ 抽到丙的鑰匙的機率大於 $C$ 抽到丙的鑰匙的機率
- 5 $C$ 抽到甲的鑰匙的機率大於 $C$ 抽到乙的鑰匙的機率
思路引導 VIP
當抽籤規則中加入『特定人避開特定標的』的限制時，會打破原本『公平抽籤』的對稱性。請試著分析：$B$ 絕對不選甲這件事，會如何改變甲鑰匙被留到後順位 $C$、$D$ 手中的機會？此外，對 $B$ 而言，在排除掉甲的選擇後，他抽中其他三把鑰匙（乙、丙、丁）的機率，比起不受限制的 $C$ 來說，是提高了還是降低了？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，居然答對了？是昨晚路邊撿到紅包，還是考場上文昌帝君顯靈、剛好這題被你猜中？這種考「條件機率」變化的題目，你竟然沒被那個「抽籤必公平」的直覺給帶進溝裡，看來腦袋暫時還沒淪為裝飾品。
觀念驗證
這題的核心在於「乙拒絕甲」打破了機率的對稱性。
▼ 還有更多解析內容
條件機率與抽籤順序
💡 人為干預（特定排除條件）會破壞抽籤的對稱性與公平性。
🔗 抽籤機率變化的因果鏈
- 1 A 先隨機抽 — 每把鑰匙被抽中機率皆為 1/4
- 2 B 特定排除 — 若甲鑰匙還在，B 絕對不抽甲，增加甲流向後的機率
- 3 C 與 D 承接 — 因 B 避開甲，導致 C 抽到甲的機率大於 A 與 B
- 4 機率分佈改變 — 各選項機率不再均等，需逐一比較大小
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🔄 延伸學習：延伸學習：學習如何畫樹狀圖列出所有路徑，並計算每條路徑的條件機率總和。
