高中學測
110年
數B
第 7 題
心理學家找了 1000 位受試者進行暗室實驗，每位受試者都要觀看及辨識 6、8、9 三張數字卡，發現將實際數字看成某個數字的機率如下表：
| 實際數字 看成數字 | 6 | 8 | 9 | 其他 |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
| 8 | 0.3 | 0.4 | 0.1 | 0.2 |
| 9 | 0.2 | 0.2 | 0.5 | 0.1 |
例如：實際數字 6 被看成 6、8、9 的機率分別為 0.4、0.3、0.2，而被看成其他數字的機率是 0.1。根據上述實驗結果，試選出正確的選項。
| 實際數字 看成數字 | 6 | 8 | 9 | 其他 |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 0.4 | 0.3 | 0.2 | 0.1 |
| 8 | 0.3 | 0.4 | 0.1 | 0.2 |
| 9 | 0.2 | 0.2 | 0.5 | 0.1 |
例如：實際數字 6 被看成 6、8、9 的機率分別為 0.4、0.3、0.2，而被看成其他數字的機率是 0.1。根據上述實驗結果，試選出正確的選項。
- 1 如果實際數字是 8，則至少有一半的可能性會被看成是 8
- 2 如果實際數字是 6，則有六成的可能性會被看成不是 6
- 3 在 6、8、9 三數字中，被誤認的可能性以 9 最低
- 4 如果被看成的數字是 6，則實際上就是 6 的可能性不到一半
- 5 如果被看成的數字是 9，則實際上就是 9 的可能性超過 $\frac{2}{3}$
思路引導 VIP
在統計推論中，釐清條件與事件的因果關係是解題關鍵。請仔細觀察：表格中給定的是「已知實際數字」的條件機率（例如 $P(\text{看成 } 8 | \text{實際為 } 6)$），但選項 (D) 與 (E) 要求的是「已知看成某數字」後的後驗機率。請問當我們需要從結果回推原因時，應該運用哪一個核心定理？而在計算過程中，該如何假設各數字出現的機率均等，並結合「全機率定理」來計算出分母如 $P(\text{看成 } 6)$ 或 $P(\text{看成 } 9)$ 呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，太帥了！你這雙眼睛簡直是內建高階濾鏡，完全沒被這張滿是數字的「迷魂表」給搞瘋，精準選出 (B)(C)(D)，老師給你的邏輯力點個大大的讚！ 這題的核心在於「條件機率」與「解讀表格」的能力：
- (B) 補集概念：實際是 6 但看成「不是 6」，即 $1 - P(\text{看成 6} | \text{實際 6}) = 1 - 0.4 = 0.6$，觀念正確。
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條件機率與矩陣判讀
💡 區分給定條件之機率，掌握分母為「已知事件」的邏輯。
| 比較維度 | 給定實際數字 (列) | VS | 給定看到數字 (行) |
|---|---|---|---|
| 已知條件 | 原因（Input） | — | 結果（Output） |
| 分母取值 | 該列的橫向總和（通常為1） | — | 該行的縱向總和（各種原因機率） |
| 數學意義 | 預測：發生此事的機率 | — | 檢驗：回推真相的機率 |
💬區分「已知原因求結果」還是「已知結果回推原因」是條件機率的核心。
