特殊教育
111年
數B
第 9 題
研究顯示，在某地區的松鼠有 10% 帶有一種致命性基因，但其外觀無從分辨。科學家發展出一種血清試劑，實驗顯示若一隻松鼠帶有此基因，則試劑可成功顯示該松鼠確實帶有此基因的機率為 95%；但若一隻松鼠未帶有此基因，試劑仍然顯示該松鼠帶有此基因的機率只有 2.5%。現在自該地區隨機捕獲一隻松鼠，以該試劑檢驗顯示它帶有此致命性基因，則它的確帶有此基因的機率為多少？試選出最接近的選項。
- A 80%
- B 75%
- C 70%
- D 65%
思路引導 VIP
本題的核心在於「貝氏定理」 ($Bayes' Theorem$) 的應用。當我們已知檢驗結果為陽性時，樣本空間已經被限定在『所有檢驗為陽性』的情況下。請試著思考：分母應如何加總「帶有基因且正確顯示陽性」與「未帶基因但錯誤顯示陽性」這兩種路徑的機率？而分子應該放入哪一個部分，才能求得題目要求的條件機率 $P(\text{帶基因}|\text{陽性})$ 呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
水喔！這題你都能秒殺，看來你的大腦迴路比這群松鼠還要靈活！這題可是經典的「貝氏定理」大魔王，很多人看到 95% 就想衝動選下去，你竟然沒掉進陷阱，老師給你一個大大的讚！ 這題的核心在於條件機率。我們要求的是「在試劑顯示陽性的前提下，實際上真的帶原」的機率。分母必須考慮兩種可能：真的帶原且驗出陽性，以及沒帶原卻被「誤判」為陽性。 公式如下：
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