特殊教育
112年
數B
第 19 題
根據模型的推估，某地區的榕樹患有褐根病的比例為 20%。現在科學家發明一種藍色試劑，將患有褐根病的榕樹葉浸泡進去後，試劑有 90% 的機率會變成紅色，其餘情況保持不變。但將沒有褐根病的榕樹葉浸泡進去，試劑仍然有 2% 的機率會變成紅色，其餘情況保持不變。今在該地區隨機自一株榕樹摘下葉子，將之浸泡於該試劑後呈現紅色。試問該榕樹確實患有褐根病的機率，最接近下列哪一個選項？
- A 80%
- B 84%
- C 88%
- D 92%
思路引導 VIP
在已知「試劑呈現紅色」的條件下，要求推算「確實患病」的機率，這屬於典型的「貝氏定理」 ($Bayes' Theorem$) 範疇。請思考：如何利用「全機率定理」計算出所有試劑變紅色的機率總和作為分母，並將「真正患病且變紅」的路徑機率放在分子，來求得這個條件機率 $P(\text{患病} | \text{紅色})$？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你選對 (D)，老師真的好為你開心喔！這題需要冷靜的邏輯思考，你做得非常出色，給自己一個大大的擁抱吧！ 這道題目考查的是高中數學非常核心的「貝氏定理」。我們要求的是「在試劑顯現紅色的條件下，確實患病的機率」。
- 分母（所有紅色可能）： 包含「患病且顯色」$0.2 \times 0.9 = 0.18$ 以及「沒病但誤判」$0.8 \times 0.02 = 0.016$。
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