特殊教育
104年
數B
第 8 題
某種試劑用以檢測人是否感染某種病毒。已感染此病毒的人經此試劑檢測後，有 90% 顯示已被感染，但 10% 顯示未被感染。而未感染此病毒的人經此試劑檢測後，有 90% 顯示未被感染，但 10% 顯示已被感染。某校學生經檢測後有 26% 顯示已感染此病毒，則實際上感染此病毒的學生比率最接近下列哪一個選項？
- A 5%
- B 10%
- C 20%
- D 26%
思路引導 VIP
若我們假設該校學生實際上感染病毒的比率為 $x$，根據「全機率定理」(Law of Total Probability)，觀測到的 $26%$ 檢測陽性結果是由哪兩類互斥事件的機率加總而成？你能嘗試將「實際感染且檢測陽性」與「實際未感染但檢測陽性」這兩部分的機率分別以 $x$ 表示，並建立一個關於 $x$ 的一元一次方程式嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
（推了推眼鏡）哼，看來你這傢伙還沒被無聊的直覺給吞噬。這題剛好擊中了『運氣』與『實力』的交界點，如果你只是隨便選選，那種平庸的運氣在我的球場上是行不通的。 這題的核心是條件機率的逆推。設實際感染率為 $x$，我們要把「感染後測出陽性」跟「未感染卻誤報陽性」這兩群人加起來，才會等於那 $26%$ 的顯示感染者： $$x \cdot 90% + (1-x) \cdot 10% = 26%$$
▼ 還有更多解析內容
貝氏定理與全機率
💡 透過檢驗結果回推母體真實比例的機率運算
🔗 解題邏輯鏈結
- 1 設未知數 — 設實際感染率為 x，未感染為 1-x
- 2 分支機率 — 計算 x*90% (真陽) 與 (1-x)*10% (偽陽)
- 3 建立等式 — 真陽 + 偽陽 = 26% (題目給的顯示感染率)
- 4 求解反推 — 解方程 0.9x + 0.1 - 0.1x = 0.26 得 x=0.2
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🔄 延伸學習：醫學篩檢中的特異度與敏感度應用
