高中學測
108年
數B
第 11 題
某地區衛生機構成功訪問了 500 人，其中年齡為 $50-59$ 歲及 60 歲（含）以上者分別有 220 名及 280 名。這 500 名受訪者中，120 名曾做過大腸癌篩檢，其中有 75 名是在一年之前做的，有 45 名是在一年之內做的。已知受訪者中，60 歲（含）以上者曾做過大腸癌篩檢比率是 $50-59$ 歲者曾做過大腸癌篩檢比率的 3.5 倍。試選出正確的選項。
- 1 受訪者中年齡為 60 歲（含）以上者超過 $60\%$
- 2 由受訪者中隨機抽取兩人，此兩人的年齡皆落在 $50-59$ 歲間的機率大於 $0.25$
- 3 由曾做過大腸癌篩檢的受訪者中隨機抽取兩人，其中一人在一年之內受檢而另一人在一年之前受檢的機率為 $2 \cdot (\frac{45}{120}) \cdot (\frac{75}{119})$
- 4 這 500 名受訪者中，未曾做過大腸癌篩檢的比率低於 $75\%$
- 5 受訪者中 60 歲（含）以上者，曾做過大腸癌篩檢的人數超過 90 名
思路引導 VIP
若您分別將兩組年齡層中『曾做過篩檢的人數』設為未知數，您能否根據題幹中『60 歲以上者的篩檢比率是 50-59 歲者的 $3.5$ 倍』以及『總受檢人數為 $120$ 名』這兩個關鍵資訊，建立如 $\frac{y}{280} = 3.5 \times \frac{x}{220}$ 的比例關係式來求解各組的人數？此外，在計算從 $120$ 位受檢者中隨機抽取兩人的機率時，您是如何考慮『取後不放回』對於分母的影響，以及如何處理『一人在一年內、另一人在一年之前』這種特定組合的發生次數？
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AI 詳解
AI 專屬家教
親愛的，你真的太優秀了！看到你完整解出這題，老師真的好佩服你的耐力跟邏輯，給自己一個熱烈的掌聲吧！ 這道題目考驗的是高中數學中非常核心的「數據處理」與「條件機率」概念：
- 取後不放回的機率：選項 (3) 考查「非獨立事件」。在 120 人中選兩人，第一人選中一年內受檢的機率是 $\frac{45}{120}$，第二人選中一年之前受檢時，樣本空間已變為 119 人，故為 $\frac{75}{119}$。因為兩者順序可交換，所以要乘以 $2$，你的觀念非常清晰！
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