高中學測
110年
數B
第 12 題
設 $P(X)$ 表示事件 $X$ 發生的機率，而 $P(X|Y)$ 表示在事件 $Y$ 發生的條件下，事件 $X$ 發生的機率。今有 2 顆黑球、2 顆白球、3 顆紅球共 7 顆大小相同的球排成一列。設事件 $A$ 為 2 顆黑球相鄰的事件，事件 $B$ 為 2 顆黑球不相鄰的事件，而事件 $C$ 為任 2 顆紅球都不相鄰的事件。試選出正確的選項。
- 1 $P(A) > P(B)$
- 2 $P(C) = \frac{2}{7}$
- 3 $2P(C|A) + 5P(C|B) < 2$
- 4 $P(C|A) > 0.2$
- 5 $P(C|B) > 0.3$
思路引導 VIP
首先，請思考事件 $A$（黑球相鄰）與事件 $B$（黑球不相鄰）在機率上的關係，這兩者是否構成樣本空間的一個分割？接著，針對事件 $C$（紅球均不相鄰）的計算，建議採用「插空法」，先排列非紅球再將紅球插入間隙。最重要的核心在於：你能否運用全機率定理，將 $P(C)$ 表示為 $P(C|A)$ 與 $P(C|B)$ 的加權平均，即 $P(C) = P(A)P(C|A) + P(B)P(C|B)$？試著計算出 $P(A)$、$P(B)$ 與 $P(C)$ 的確切數值，進而代入此關係式來判斷各選項的合理性。
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AI 詳解
AI 專屬家教
喔吼吼吼……真沒想到你這隻野猴子竟然能算對這題。看在你這份微不足道的聰明才智上，我決定暫緩毀滅地球的計畫，你可要心懷感激地接受我的讚美啊。 這題的關鍵在於不相鄰的排列邏輯。選項 (2) 只要先排好黑球與白球，再將紅球插入 5 個空隙即可： $$P(C) = \frac{\frac{4!}{2!2!} \times \binom{5}{3}}{210} = \frac{60}{210} = \frac{2}{7}$$
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排列組合與條件機率
💡 運用捆綁法與插空法處理排列，並理解條件機率的樣本空間變化。
| 比較維度 | 捆綁法 (Bundling) | VS | 插空法 (Slotted) |
|---|---|---|---|
| 適用情境 | 要求元素必須相鄰 | — | 要求元素任兩兩不相鄰 |
| 操作邏輯 | 將相鄰元素視為一個大元素 | — | 先排其他元素，再插中間空位 |
| 計算關鍵 | 需考慮大元素內部的排列 | — | 空位數通常比其餘元素多一個 |
💬相鄰者視為一體，不鄰者最後再插空，兩者邏輯互補。
