高中學測
115年
數B
第 14 題
將 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 七個數字排成一個七位數。若要求排出的數字 3, 4 相鄰、5, 6 相鄰以及 6, 7 相鄰，則共可排出 \_\_\_\_ 個七位數。
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
在排列組合中，處理『必須相鄰』的條件通常採用『捆綁法』。請同學思考：當題目要求 $3, 4$ 相鄰，且 $5, 6$ 與 $6, 7$ 皆相鄰時，這兩組數字應如何分別進行打包？特別是對於 $5, 6, 7$ 這組數字，為了滿足連鎖相鄰的限制，哪一個數字必須被固定在三者的中間位置？在確定了兩組『捆綁包』與其餘獨立數字後，總共有多少個物件要進行外部的直線排列？最後，請評估每個包裹內部的合法排列方式（例如 $3, 4$ 之間可以交換嗎？$5, 6, 7$ 之間呢？）各有幾種，再運用乘法原理求出總數。
相鄰排列綑綁法
💡 要求相鄰的元素需視為一體，採「綑綁法」處理排列問題。
🔗 綑綁法解題三步驟
- 1 步驟 1：綑綁分組 — 將規定相鄰的數字圈起來視為一項
- 2 步驟 2：大項排列 — 計算所有組別與單獨數字的總排列數
- 3 步驟 3：組內細排 — 考慮每組內部成員換位置的可能情況
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🔄 延伸學習：延伸思考：若要求「不相鄰」，則應改用「插空法」。
