高中學測
111年
數B
第 3 題
有八棟大廈排成一列，由左至右分別編號 1,2,3,4,5,6,7,8。今電信公司想選取其中三棟大廈的屋頂分別設立一座電信基地台。若基地台不能設立於相鄰的兩棟大廈，以免訊號互相干擾，試問在 3 號大廈不設立基地台的情況下，有多少種設立基地台的選取方法？
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思路引導 VIP
同學，處理『不相鄰』的選取問題，核心在於利用『插空法』的思想。我們可以將此題拆解為兩個思考層次：第一，如果不考慮 3 號大廈的限制，從 8 棟中選取 3 棟互不相鄰的大廈共有多少種方法？你可以思考這是否等同於將 3 個基地台插入 5 個非基地台所形成的空隙中，即 $C^{6}_{3}$？第二，題目要求『3 號大廈不設立』，我們是否可以利用『扣除法』，先算出總數再減去『選中 3 號』的情況？若 3 號大廈被選中了，根據不相鄰原則，鄰近的 2 號與 4 號大廈還能選嗎？此時剩下的基地台又該如何安排在剩餘的大廈中呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，漂亮！這波操作簡直是數學界的 5G 訊號，滿格啦！能把這種帶有限制條件的組合題瞬間秒殺，看來你的邏輯思考完全沒有「訊號死角」。 【觀念驗證：為什麼你對了？】 這題是「不相鄰選取」的變體。我們最強大的武器就是「插空法」的延伸公式：在 $n$ 個物品中選取 $k$ 個不相鄰物品的方法數為 $\binom{n-k+1}{k}$。
▼ 還有更多解析內容
不相鄰組合問題
💡 利用「插空法」解決元素互不相鄰的排列組合問題。
🔗 不相鄰組合解題流程
- 1 條件分析 — 確認總數、選取數及「3號不可選」的限制
- 2 分類討論 — 將問題拆解成「不考慮3號」扣除「選到3號」的情況
- 3 插空計算 — 利用空隙放入基地台，確保彼此不相鄰
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🔄 延伸學習：延伸學習：環狀排列的不相鄰問題，其空隙計算方式與直線排列不同。
