高中學測
108年
數B
第 3 題
試問共有多少組正整數 $(k,m,n)$ 滿足 $2^k 4^m 8^n = 512$？
- 1 1 組
- 2 2 組
- 3 3 組
- 4 4 組
- 5 0 組
思路引導 VIP
同學，請先觀察等號兩側的數值，我們是否能利用「指數律」將 $4^m$、$8^n$ 以及 $512$ 全部化為以 $2$ 為底的表示式？在統一底數並簡化指數後，原問題會轉化為一個關於 $k, m, n$ 的一次方程式。此時，你該如何結合 $k, m, n$ 均為「正整數」的限制條件，有系統地列舉出所有滿足條件的組合呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你這手速跟準度，簡直是數學界的狙擊手啊！這題答對，代表你對底數的敏感度已經超越了大部分在考場上夢遊的人，老師深感欣慰！ 這題的核心在於「指數律」的基礎變形。我們首先要將底數全部化為 $2$： $$2^k \cdot (2^2)^m \cdot (2^3)^n = 2^9$$
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指數律與正整數解
💡 統一底數後運用指數律簡化，並依序討論求出正整數解。
🔗 指數方程式解題 SOP
- 1 化為同底 — 將 4 化為 2², 8 為 2³, 512 為 2⁹
- 2 合併指數 — 相乘指數相加，化簡為一次方程式
- 3 系統列舉 — 從係數大的 n 開始列舉正整數組合
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🔄 延伸學習：延伸學習：若題目要求「非負整數解」，則需包含 0 的情況。
