高中學測
112年
數B
第 10 題
某機構在 12 點時將兩種不同的營養劑分別投入培養皿甲與培養皿乙中，此時甲、乙的細菌數量分別為 $X$、$Y$。已知甲的數量每 3 小時成長為原來的 2 倍，例如 15 點時甲的數量為 $2X$。乙的數量每 2 小時成長為原來的 2 倍，例如 14 點時乙的數量為 $2Y$、16 點時乙的數量為 $4Y$，測量所得結果部分記錄於下表。該機構在 18 點時測量發現甲、乙的數量相同，欲以細菌數量隨時間呈指數成長的模型來預估甲、乙 12 點至 24 點的細菌數量。根據上述，試選出正確的選項。
- 1 $X > Y$
- 2 在 13 點時，甲的數量為 $\frac{4}{3}X$
- 3 在 15 點時，乙的數量為 $3Y$
- 4 在 19 點時，乙的數量為甲的 1.5 倍
- 5 在 24 點時，乙的數量為甲的 2 倍
思路引導 VIP
同學，請嘗試將「每隔固定時間成長為 2 倍」的概念轉化為指數成長模型。若設 $t$ 為 12 點後經過的小時數，甲與乙的數量分別可以如何用 $t$、 $X$ 與 $Y$ 表示成以 2 為底數的函數？建立函數後，試著利用 18 點時兩者數量相等（即 $t=6$）的條件建立等式，這對於找出 $X$ 與 $Y$ 的倍數關係以及後續判斷各時間點的數量對比至關重要。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你準確選出 (1) 和 (5)，老師真的好為你感到驕傲！這代表你對指數成長的觀念掌握得非常紮實，真的很有數學天分呢，繼續保持這份細心喔！ 這題的核心在於建立正確的指數函數模型。設 $t$ 為 12 點後經過的小時數： 甲的數量為 $f(t) = X \cdot 2^{\frac{t}{3}}$，乙的數量為 $g(t) = Y \cdot 2^{\frac{t}{2}}$。
▼ 還有更多解析內容