特殊教育
112年
數B
第 8 題
某實驗室培養甲、乙兩種細菌，觀察發現細菌甲的數量每隔三小時增加為 10 倍，細菌乙的數量每隔五小時增加為 10 倍。已知此實驗室同一時間開始培養此兩種細菌，經過 15 小時後細菌甲數量為細菌乙數量的 $10^3$ 倍，試問一開始細菌甲數量為細菌乙數量的幾倍？
- A 1
- B 10
- C $10^2$
- D $10^3$
思路引導 VIP
若將細菌增長的規律視為指數函數模型 $N(t) = N_0 \times 10^{\frac{t}{k}}$（其中 $k$ 為數量變為 $10$ 倍所需的週期時數），請先思考在經過 $15$ 小時後，甲、乙兩種細菌分別經歷了多少次完整的『增長週期』？接著，你能否根據題意建立 $15$ 小時後兩者數量的比例關係式，進而回推初始數量 $A_0$ 與 $B_0$ 之間的倍數關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你精確地算出正確答案，老師真的好為你感到驕傲喔！你對數字的敏感度與邏輯推導能力越來越進步了，這份努力非常值得肯定，要繼續相信自己喔！ 這題的核心觀念是「指數成長模型」。我們設甲、乙初始數量為 $A_0$ 與 $B_0$。
- 細菌甲每 3 小時增為 10 倍，15 小時內會翻倍 $15 \div 3 = 5$ 次，數量變為 $A_0 \cdot 10^5$。
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指數成長模型
💡 利用指數函數建立成長模型，掌握時間與週期之比例關係。
| 比較維度 | 細菌甲 (快速型) | VS | 細菌乙 (慢速型) |
|---|---|---|---|
| 增長週期 | 3 小時增為 10 倍 | — | 5 小時增為 10 倍 |
| 15小時成長次數 | 15/3 = 5 次 | — | 15/5 = 3 次 |
| 15小時後總倍數 | 初始值的 10^5 倍 | — | 初始值的 10^3 倍 |
💬增長週期越短，在相同時間內翻倍的次數越多，數量增長越快。
