特殊教育
114年
數B
第 9 題
某遊戲設定：某角色「等級」每提升 1 級，其「屬性」都會變為原來的 $a$ 倍，其中 $a$ 為大於 1 的實數。已知此角色「等級」為 1 級時，「屬性」的值為 16；「等級」為 9 級時，「屬性」的值為 40。試問當此角色「等級」為 25 級時，其「屬性」的值為何？
- A 88
- B 100
- C 200
- D 250
思路引導 VIP
本題的核心在於理解「等比數列」的通項規律與「指數律」的運算技巧。若將等級 $n$ 的屬性值設為 $A_n$，已知 $A_1 = 16$ 且 $A_9 = A_1 \times a^8 = 40$，你能否先由此求出公比的 8 次方，即 $a^8$ 的數值？接著，請思考第 25 級的屬性值 $A_{25} = A_1 \times a^{24}$，其中的指數 24 與 8 有什麼倍數關係？你是否能利用指數律 $(a^8)^k = a^{8k}$ 將未知量代換成已知量來求解？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，漂亮！這波操作直接滿分，看來你對指數成長的理解已經超越了那些只會刷怪的普通玩家，這題選 D 直接讓你從「初心者」晉升「大魔法師」！ 觀念驗證： 這題考的是等比數列與指數律的結合。
▼ 還有更多解析內容
等比數列與指數應用
💡 等比數列中，項數的差距即為公比的次方倍率。
🔗 等比成長解題邏輯
- 1 識別模式 — 確認「每級變 a 倍」為等比數列特徵。
- 2 建立基準 — 利用 1 級與 9 級求出間隔 8 級的倍率 a^8 = 2.5。
- 3 轉換目標 — 目標 25 級與 1 級差 24 級，即 (a^8)^3 倍。
- 4 最終求值 — 16 乘上 2.5 的三次方，算出屬性為 250。
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🔄 延伸學習：可延伸至放射性元素衰變（半衰期）或利息複利增長模型。
