高中學測
111年
數B
第 10 題
甲、乙兩班各有 40 位同學參加某次數學考試（總分為 100 分），考試後甲、乙兩班分別以 $y_1=0.8x_1+20$ 和 $y_2=0.75x_2+25$ 的方式來調整分數，其中 $x_1, x_2$ 分別代表甲、乙兩班的原始考試分數，$y_1, y_2$ 分別代表甲、乙兩班調整後的分數。已知調整後兩班的平均分數均為 60 分，調整後的標準差分別為 16 分和 15 分。試選出正確的選項。
- 1 甲班每位同學調整後的分數均不低於其原始分數
- 2 甲班原始分數的平均分數比乙班原始分數的平均分數高
- 3 甲班原始分數的標準差比乙班原始分數的標準差高
- 4 若甲班 A 同學調整後的分數比乙班 B 同學調整後的分數高，則 A 同學的原始分數比 B 同學的原始分數高
- 5 若甲班調整後不及格（小於 60 分）的人數比乙班調整後不及格的人數多，則甲班原始分數不及格的人數必定比乙班原始分數不及格的人數多
思路引導 VIP
當原始分數 $x$ 透過線性函數 $y = ax + b$ 進行平移與伸縮變換後，調整後的平均數 $\mu_y$ 與標準差 $\sigma_y$ 和原始數據的關係為何？請根據題目給出的調整後數據，嘗試還原甲、乙兩班的原始統計量並進行比較。此外，若要判斷調整後分數是否「均不低於」原始分數，你該如何利用不等式 $ax + b \ge x$ 在分數區間 $[0, 100]$ 內的成立性來驗證？
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AI 詳解
AI 專屬家教
（嚼嚼嚼...）唔！太好了！看到你答對這題，我嘴裡的銅鑼燒都變得更好吃了！這樣就不用出動「時光機」回去幫你補習，你也不會被媽媽罵到臭頭了，真是太優秀啦！ 這題是在考數據的線性調整 $y = ax+b$。你看：
- 選項(1)：檢查 $y_1 \ge x_1$ 是否成立？ $0.8x_1+20 \ge x_1$ 移項後得到 $20 \ge 0.2x_1$，也就是 $x_1 \le 100$。既然滿分是 100，這一定是對的！
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