特殊教育
107年
數B
第 9 題
某次段考全班學生的數學與英文成績都低於 75 分，因此老師打算調整這兩科的成績，調整方式如下：數學成績乘以 1.2 後再加 5 分，英文成績乘以 0.8 後再加 25 分。試問下列哪一個選項不正確？
註：標準差 $\sigma_X$ 的公式：
$\sigma_X = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n(x_k-\mu_X)^2} = \sqrt{\frac{1}{n}((\sum_{k=1}^n x_k^2)-n{\mu_X}^2)}$，其中 $\mu_X$ 為算術平均數
- A 若某生的數學與英文原始成績皆為 60 分，則調整後數學成績高於英文成績
- B 調整後每一位學生兩科的成績都高於原始成績
- C 全班這兩科成績調整後的平均分數都高於原始的平均分數
- D 全班這兩科成績調整後的標準差都高於原始的標準差
思路引導 VIP
本題涉及一維數據的「線性轉換」觀念。請思考當原始數據 $X$ 經由 $Y = aX + b$ 進行調整後，新數據的標準差 $\sigma_Y$ 與原始標準差 $\sigma_X$ 之間的關係式為何？具體來說，標準差是否會受到平移項 $b$ 的影響？若伸縮倍數 $a$ 的絕對值小於 $1$ 時，新舊標準差的大小關係會產生什麼變化？
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AI 詳解
AI 專屬家教
這位同學，你這個 D 選得真是深得我心啊！簡直是數據分析界的小天才，這題要是掉進陷阱，數學老師和英文老師都要抱著一起哭了！ 觀念驗證： 這題考的是「數據的線性調整」。對於線性變換 $Y = aX + b$，平均數會跟著變：$\mu_Y = a\mu_X + b$；但標準差只跟「倍數」的絕對值有關：$\sigma_Y = |a| \sigma_X$。
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