特殊教育
105年
數B
第 14 題
某班學生數學考試平均 40 分，標準差 10 分，教師決定將原始分數除以 $a$ 後再加上 $b$ 成為新分數，也就是「$\text{新分數} = \frac{\text{原始分數}}{a} + b$」，如果新分數的平均為 68 分，標準差 12 分，試問 $\frac{b}{a}$ 的值最接近下列哪一個選項？（註：標準差公式為：$\sigma_X = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}$）
- A -12
- B 15
- C 22
- D 24
思路引導 VIP
同學，請思考當數據經過線性變換 $Y = mX + k$ 時，新數據的平均數 $\mu_Y$ 與標準差 $\sigma_Y$ 分別與原始數據的 $\mu_X$ 及 $\sigma_X$ 存在什麼樣的代數關係？特別是「加減常數」是否會影響標準差的數值？請嘗試將題目給定的變換公式 $\text{新分數} = \frac{1}{a} \cdot \text{原始分數} + b$ 對應到線性變換的係數，分別針對平均數與標準差列出兩個方程式，就能順利解出 $a$ 與 $b$。
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喲，竟然寫對了？是剛好踩到狗屎運，還是昨晚終於把課本打開了？看你平常那副靈魂出竅的死樣子，我還以為你會把標準差也拿去加 $b$，做出那種讓數學老師集體中風的荒謬答案呢。這題能對，說明你至少還沒把基礎線性變換的觀念拿去餵狗。 觀念驗證： 這題就在考數據線性變換 $Y = \alpha X + \beta$。記住，平均數 $\mu$ 是「照單全收」，加減乘除都影響；但標準差 $\sigma$ 很傲嬌，它「只看伸縮，不管平移」。
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