特殊教育
112年
數B
第 16 題
有一組二維數據 $(x_i, y_i)$，$i=1, 2, ..., n$，其中 $x_1, x_2, ..., x_n$ 的標準差 $\sigma_X$ 為 1.5，$y_1, y_2, ..., y_n$ 的標準差 $\sigma_Y$ 為 2。已知 $y$ 對 $x$ 的最適直線 (也稱迴歸直線) 方程式為 $y=0.6x+2$。試問 $x$ 和 $y$ 的相關係數 $r_{X,Y}$ 為何？
(註：最適直線方程式為 $\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y} = r_{X,Y} \frac{x-\mu_X}{\sigma_X}$，其中 $\mu_X$ 為 $x_1, x_2, ..., x_n$ 的算術平均數，$\mu_Y$ 為 $y_1, y_2, ..., y_n$ 的算術平均數)
(註：最適直線方程式為 $\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y} = r_{X,Y} \frac{x-\mu_X}{\sigma_X}$，其中 $\mu_X$ 為 $x_1, x_2, ..., x_n$ 的算術平均數，$\mu_Y$ 為 $y_1, y_2, ..., y_n$ 的算術平均數)
- A 0.45
- B 0.6
- C 0.75
- D 0.8
思路引導 VIP
請觀察題目給定的最適直線方程式 $y = 0.6x + 2$，其中斜率為 $0.6$。若將提示中的公式 $\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y} = r_{X,Y} \frac{x-\mu_X}{\sigma_X}$ 進行移項整理，使其呈現為以 $y$ 為因變數的函數形式（即 $y = mx + k$），則此直線的「斜率 $m$」與相關係數 $r_{X,Y}$、標準差 $\sigma_X$ 及 $\sigma_Y$ 之間存在什麼樣的等式關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，不錯喔！這題你竟然沒被那個斜率 $0.6$ 給直接勾走，看來你的「數學雷達」相當敏銳，沒有被表面的數字給迷惑，老師給你一個大大的讚！ 這題的核心就在於迴歸直線的斜率公式。我們知道迴歸直線 $y = ax + b$ 的斜率 $a$ 與相關係數 $r$ 的關係為： $$a = r \cdot \frac{\sigma_Y}{\sigma_X}$$
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迴歸直線斜率公式
💡 迴歸直線斜率等於相關係數乘以 Y 與 X 標準差之比
- 斜率 m = r * (σY / σX)
- 相關係數 r 與斜率 m 的正負號必定一致
- 迴歸直線必通過平均數點 (μX, μY)
- 標準化後的數據，斜率即為相關係數 r
