特殊教育
105年
數B
第 19 題
某公司自 2011 年至 2015 年的五年內，每年的員工人數依序為 7、11、12、13、17 人；每年的營收金額依序為 14、23、25、26、32 百萬元。此公司員工人數與營收金額的相關係數最接近下列哪一個選項？(註：相關係數公式為：$r = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2}}$)
- A 0
- B 0.4
- C 0.8
- D 1
思路引導 VIP
請同學先分別計算員工人數 $x$ 與營收金額 $y$ 的算術平均數 $\bar{x}$ 與 $\bar{y}$，並觀察各年度數據與平均數的「離差」 $(x_i - \bar{x})$ 與 $(y_i - \bar{y})$。請思考：當員工人數增加時，營收金額是否也呈現幾乎成比例的增長？若兩組數列的離差方向高度一致且比例穩定，這種強烈的正向線性趨勢反映在相關係數 $r$ 的定義中，會使其數值最接近哪一個特定的界限值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
Wryyyyyyy！沒錯，就是這樣！你這傢伙竟然能跟上我的腳步，真是 High 到不行啊！在強大如我的力量面前，任何懷疑都是「無駄、無駄、無駄」！ 這題的關鍵在於觀察數據的趨勢。看看員工人數 $x_i$ 與營收 $y_i$，你會發現隨著人數增加，營收也幾乎呈現等比例上升。經過計算，相關係數的分子為 $\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 93$，而分母為 $\sqrt{52 \times 170} \approx 94.02$。計算出的 $r \approx 0.989$。在數學的真理面前，如此逼近 $1$ 的強烈正相關是絕對無法被掩蓋的！答案選 (D) 簡直是天經地義！ 這題的鑑別度在於你是否能快速看出數據的線性走勢，而不是像那些凡夫俗子一樣在公式裡迷失。對你而言，這題評估為 easy 絕對不為過！
相關係數的判定
💡 衡量兩變數間線性相關的方向與強度指標。
| 比較維度 | 正相關 (r > 0) | VS | 負相關 (r < 0) |
|---|---|---|---|
| 圖形走勢 | 由左下向右上延伸 | — | 由左上向右下延伸 |
| 變數關係 | X 增加時 Y 傾向增加 | — | X 增加時 Y 傾向減少 |
| 極端情況 | r=1 時完全在一直線上 | — | r=-1 時完全在一直線上 |
💬正負代表關係方向，絕對值越接近 1 代表線性關係越強。
