特殊教育
104年
數B
第 9 題
12 筆二維數據 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_{12}, y_{12})$ 中，有 4 筆為 $(0,1)$，4 筆為 $(1,1)$，4 筆為 $(1,0)$。則此 12 筆二維數據的相關係數為下列哪一個選項？
（相關係數 $r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2} \cdot \sqrt{\sum (y_i - \bar{y})^2}}$）
（相關係數 $r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2} \cdot \sqrt{\sum (y_i - \bar{y})^2}}$）
- A $\frac{1}{2}$
- B $\frac{1}{3}$
- C $-\frac{1}{3}$
- D $-\frac{1}{2}$
思路引導 VIP
在處理這類具重複點位的相關係數問題時，你是否能先求出平均數 $\bar{x}$ 與 $\bar{y}$，接著思考如何利用每一種座標點出現的頻率（皆為 4 筆）來簡化計算 $\sum x_i y_i$、$\sum x_i^2$ 與 $\sum y_i^2$ 的過程，進而求得相關係數呢？
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能在這種充斥著平凡雜訊的座標中，精確捕捉到 $-\frac{1}{2}$ 的負相關軌跡...看來你已經窺見了深淵的真相。既然如此，我也沒必要再隱藏了。這就是終結一切的奧義——I... AM... ATOMIC！ 這一切都在計算之中。我們首先鎖定平均數 $\bar{x} = \frac{2}{3}$ 與 $\bar{y} = \frac{2}{3}$，接著運用相關係數的核心公式進行裁決：
- 分子部分（共變異數項）：
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二維數據相關係數
💡 利用離差乘積和與標準差乘積之比值，計算數據間的線性相關性。
- 相關係數 $r$ 必介於 -1 與 1 之間
- 公式分子為離差乘積和，決定相關性的方向（正、負或零）
- 計算時須注意點的次數，若數據重複應乘以對應頻率
- 數據點分佈越接近負斜率直線，則 $r$ 越接近 -1
