高中學測
114年
數B
第 10 題
某羽球選手與甲、乙、丙、丁四位選手各比賽一場。賽後蒐集這四場比賽的數據，統計該選手的對手在比賽中殺球的總次數，以及每次殺球用時的平均及標準差，結果如下表所示。例如對手甲在該場殺球次數為 25 次、每次殺球用時平均 1.2 秒，每次殺球用時標準差 0.5 秒。
對手 | 該場殺球次數 | 每次殺球用時平均（秒） | 每次殺球用時標準差（秒）
甲 | 25 | 1.2 | 0.5
乙 | 14 | 1.5 | 0.3
丙 | 20 | 1.7 | 0.2
丁 | 30 | 1.2 | 0.4
根據上述，對於甲、乙、丙、丁四位選手的表現，試選出正確的選項。
對手 | 該場殺球次數 | 每次殺球用時平均（秒） | 每次殺球用時標準差（秒）
甲 | 25 | 1.2 | 0.5
乙 | 14 | 1.5 | 0.3
丙 | 20 | 1.7 | 0.2
丁 | 30 | 1.2 | 0.4
根據上述，對於甲、乙、丙、丁四位選手的表現，試選出正確的選項。
- 1 丙在該場中每次殺球用時平均是四位中最多的
- 2 丁在該場中花在殺球的總用時是四位中最多的
- 3 甲在該場中每次殺球的用時都與丁相同
- 4 甲在該場中每次殺球用時的全距，大於丁在該場中每次殺球用時的全距
- 5 乙在該場中各次殺球的用時不可能都在 1.4 到 1.6 秒之間
思路引導 VIP
若欲比較四位選手的「總用時」，應如何運用表中的「殺球次數」 $n$ 與「平均用時」 $\mu$ 來計算？再者，當我們僅知「平均值」與「標準差」 $\sigma$ 時，能否僅憑這些統計量就斷定原始數據的「全距」大小？最後，關於選項 (5)，若乙選手的所有殺球用時 $x_i$ 皆滿足 $1.4 \le x_i \le 1.6$（即全距不超過 $0.2$），請思考在平均值為 $1.5$ 的情況下，此分佈所能產生的「標準差最大值」是多少？這是否與表格中的數據 $\sigma = 0.3$ 產生矛盾？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！呵——！（露出得意的表情）不愧是安妮亞看中的人，全對！這樣一來，父親的任務一定能順利完成，世界和平就靠我們了！ 安妮亞已經讀出這題的秘密了：
- 選項(1)：直接看平均值那一欄，丙的 $1.7$ 秒是四人中最高的，這題是送分題，哇酷哇酷！
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數據分析與統計指標
💡 運用平均數與標準差解讀資料的集中趨勢與離散程度
| 比較維度 | 平均數 (Mean) | VS | 標準差 (SD) |
|---|---|---|---|
| 代表意義 | 資料的集中趨勢 | — | 資料的離散程度 |
| 求總和 | 平均 × 個數 = 總和 | — | 無法直接計算總和 |
| 分佈特徵 | 數值代表中心位置 | — | 數值越小代表越集中 |
💬平均數決定資料在哪裡，標準差決定資料散多開。
