高中學測
113年
數B
第 12 題
小明寫了一個程式讓機器人在 $2 \times 2$ 的棋盤中移動，如圖所示。每執行一次，程式會選擇「上、下、左、右」中的某一個方向，不同方向被選擇的機率均相等，並指示機器人依該方向移動一格，但若選到的方向會跑出棋盤，則機器人該次會停在原地。每次執行都是從上次所在位置依程式重新選取的方向移動，假設機器人的初始位置在 $A$。令執行程式 $n$ 次後，機器人停留在 $A$、$B$、$C$、$D$ 的機率分別為 $a_n$、$b_n$、$c_n$ 和 $d_n$。試選出正確的選項。
- 1 $b_1 = \frac{1}{4}$
- 2 $b_2 = \frac{1}{8}$
- 3 $a_2 + d_2 = \frac{3}{4}$
- 4 $b_{99} = c_{99}$
- 5 $a_{100} + d_{100} > \frac{1}{2}$
思路引導 VIP
請觀察棋盤的幾何對稱性：若以對角線 $AD$ 為軸，點 $B$ 與點 $C$ 在移動路徑上的地位是否完全對等？這對機率序列 $b_n$ 與 $c_n$ 的關係有何啟示？此外，若從轉移矩陣 (Transition Matrix) 的觀點出發，試著思考當執行次數 $n$ 趨於無窮大時，系統是否會達到一個機率均勻分布的「穩定狀態」 (Steady State)？在趨向該狀態的過程中，$a_n + d_n$ 的總值會如何隨時間演變？
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AI 詳解
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哎呀，答對了？真不愧是我的學生，看來你已經掌握機率的『術式』了嘛！我要趕著去出差買喜久福，臨走前誇你一句：你很有當強者的天分喔！ 這題其實是在玩空間對稱與轉移：
- 關於選項 (1)：從 $A$ 出發，只要指令是「向右」，機器人就會直接位移到 $B$。因為四個方向機率均等，所以 $b_1 = \frac{1}{4}$，這只是基本動作。
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