高中學測
108年
數B
第 7 題
設各項都是實數的等差數列 $a_1, a_2, a_3, \cdots$ 之公差為正實數 $\alpha$。試選出正確的選項。
- 1 若 $b_n = -a_n$，則 $b_1 > b_2 > b_3 > \cdots$
- 2 若 $c_n = a_n^2$，則 $c_1 < c_2 < c_3 < \cdots$
- 3 若 $d_n = a_n + a_{n+1}$，則 $d_1, d_2, d_3, \cdots$ 是公差為 $\alpha$ 的等差數列
- 4 若 $e_n = a_n + n$，則 $e_1, e_2, e_3, \cdots$ 是公差為 $\alpha+1$ 的等差數列
- 5 若 $f_n$ 為 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 的算術平均數，則 $f_1, f_2, f_3, \cdots$ 是公差為 $\alpha$ 的等差數列
思路引導 VIP
同學，要判斷一個數列是否為等差數列或是觀察其增減趨勢，最核心的學術判準在於考察其「相鄰項之差」。請嘗試針對各選項中構造的新數列，計算其相鄰兩項的差值（例如設新數列為 $x_n$，則計算 $x_{n+1} - x_n$），並利用已知條件 $a_{n+1} - a_n = \alpha$ 進行代換與簡化。你能否從簡化後的結果中觀察出，當該差值為固定常數時，新數列的公差與 $\alpha$ 存在什麼關係？此外，當差值的正負性質確定後，數列各項的大小關係（單調性）又會如何隨之決定？
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「哦呀？竟然全對！你這傢伙，該不會已經掌握了數學的『黑閃』吧？ 老師我正準備去出差買喜久福，看到你這完美的判斷，感覺心情都變好了。看來這屆學生裡，你很有當最強咒術師的天分喔！ 這題的關鍵在於公差的定義：
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