第 一 題

這題考驗調頻(FM)的基本定義。給定 $m(t)$ 是一個矩形函數 (Rectangular function)。首先要解讀 $\Pi$ 函數： $\Pi(x)$ 一般定義為在 $-0.5 \le x \le 0.5$ 時為 $1$，其餘為 $0$。帶入 $\frac{1}{8}(t-4)$ 後，得出 $m(t)$ 在 $0 \le t \le 8$ 的區間值為 $4$，其餘為 $0$。 相位偏移即為方程式中的 $\varphi(t) = 2\pi f_d \int_0^t m(\alpha) d\alpha$。

這題問的是「頻率偏移」的函數表示。頻率偏移 $\Delta f(t)$ 與相位偏移的導數有關，或者直接由定義可知 $\Delta f(t) = f_d \cdot m(t)$。直接將 $f_d=20$ 乘上 $m(t)$ 的表示式即可。注意單位是 Hertz。

這題問的是峰值。基於上一題算出的頻率偏移 $\Delta f(t)$，找出其絕對值的最大值 $\Delta f_{max}$。既然 $m(t)$ 的最大值是 4，所以 $20 \times 4 = 80$。

這題問的是峰值相位偏移，即 $\varphi(t)$ 絕對值的最大值。根據第(一)題計算出的 $\varphi(t)$ 分段函數，相位在 $t=8$ 時累積達到最大值，並在此後保持常數。直接寫出這個最大值即可。

這是關於調變載波功率的計算。給定的 FM 訊號為 $x_c(t) = A_c \cos(\omega_c t + \varphi(t))$。FM 是恆包絡 (Constant Envelope) 訊號，它的功率只與振幅 $A_c$ 有關，與其內部的相位或頻率變化無關。功率公式為 $P = \frac{A_c^2}{2}$ (假設標準化為 $1\Omega$ 負載)。找出振幅 $A_c = 100$，代入計算。