第 一 題

這是取樣定理的基本應用題。對於一個訊號，奈奎斯取樣率 (Nyquist Rate) $f_s$ 定義為訊號最高頻率 $f_{max}$ 的兩倍，即 $f_s = 2f_{max}$。奈奎斯間距 (Nyquist Interval) $T_s$ 則是取樣率的倒數，即 $T_s = 1/f_s$。 在此題中，訊號為 $\cos(200\pi t)$，其角頻率 $\omega = 200\pi$，利用 $\omega = 2\pi f$ 求出 $f = 100$ Hz，此即為最高頻率。套用公式即可得解。

對於多個弦波相加合成的訊號，其最高頻率 $f_{max}$ 由其中頻率最高的那個弦波決定。此訊號包含兩個成份：$\cos(200\pi t)$ 對應 100 Hz，$\cos(400\pi t)$ 對應 200 Hz。因此 $f_{max} = 200$ Hz。接著套用 $f_s = 2f_{max}$ 與 $T_s = 1/f_s$。

考驗對 $sinc$ 函數頻譜特性的了解。題目已經給了定義：$sinc(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$。代入 $200t$ 得到 $sinc(200t) = \frac{\sin(200\pi t)}{200\pi t}$。 根據傅立葉轉換對，一個時域的 $sinc$ 函數對應頻域的矩形脈衝 (Rectangular pulse)。標準型式為 $\frac{\sin(2\pi W t)}{\pi t} \leftrightarrow$ 頻寬為 $W$ 的理想低通。這裡寫作 $\frac{\sin(2\pi \cdot 100 \cdot t)}{200\pi t}$，可比較出最高頻率 $W = 100$ Hz。知道最高頻率後，後續算法就一樣了。

這是進階頻寬考題。當兩個訊號在時域相乘時，其頻譜在頻域上會發生「卷積 (Convolution)」。 $sinc^2(200t) = sinc(200t) \times sinc(200t)$。由前一題可知，$sinc(200t)$ 的最高頻率為 100 Hz，頻譜範圍是 $[-100, 100]$。兩個帶寬為 100 Hz 的頻譜做卷積，產生的新頻譜範圍是兩者邊界相加，即 $[-200, 200]$ Hz（形狀變為三角形）。因此新訊號的最高頻率變成了 200 Hz。套用公式計算即可。