普考申論題
114年
[電信工程] 通信系統概要
第 一 題
📖 題組：
五、假設 X(j\omega)為連續時間訊號x(t)的頻譜，根據奈奎斯特取樣定理（Nyquist sampling theorem），如果取樣的週期 T = 10^{-4} s，請判斷以下的訊號x(t)（或 X(j\omega)），其取樣後的訊號（sampled signal）是否可經由理想的數位類比轉換器（digital-to-analog converter, DAC）完美重構（perfect reconstruction）？（每小題 5 分，共 15 分）
五、假設 X(j\omega)為連續時間訊號x(t)的頻譜，根據奈奎斯特取樣定理（Nyquist sampling theorem），如果取樣的週期 T = 10^{-4} s，請判斷以下的訊號x(t)（或 X(j\omega)），其取樣後的訊號（sampled signal）是否可經由理想的數位類比轉換器（digital-to-analog converter, DAC）完美重構（perfect reconstruction）？（每小題 5 分，共 15 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
X(j$\omega) = 0 for$|$\omega$| > 5000$\pi$
思路引導 VIP
看到取樣與完美重構，首要想到「奈奎斯特取樣定理（Nyquist Sampling Theorem）」。先將取樣週期 T 轉換為取樣頻率 fs，再從頻譜 X(jω) 找出訊號的最高頻率 fm，最後比較 fs 是否大於或等於 2fm（Nyquist rate）即可判斷是否會發生混疊。
小題 (二)
x(t) = \left($\frac{\sin(4000\pi t)}{\pi t}\right)^2$
思路引導 VIP
面對取樣定理題目，解題核心分為三步：首先由取樣週期 T 算出實際的取樣頻率 fs。接著，利用傅立葉轉換性質找出訊號 x(t) 的最高頻率成分 fm，需特別注意『時域平方等於頻域摺積』會使頻寬加倍。最後，將 fs 與奈奎斯特率 (2fm) 進行比較，若 fs ≥ 2fm 則無頻疊，可完美重構。
小題 (三)
x(t) = 1 + \cos(2000$\pi t) + \sin(4000\pi t)$
思路引導 VIP
遇到這類取樣定理考題，首先應從時間函數 x(t) 中找出各個弦波成分的頻率，並決定訊號的最高頻率 f_max。接著，利用取樣週期 T 計算出取樣頻率 f_s = 1/T，最後檢驗是否滿足奈奎斯特判據 f_s > 2f_max，即可判定能否完美重構。