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普考申論題 113年 [電信工程] 通信系統概要

第 一 題

📖 題組：
若x(t)的傅立葉轉換X(f)如下圖所示： [圖表：X(f)為一等腰三角形，底邊介於 -10 Hz 至 10 Hz，頂點位於 f=0 處，振幅為 10] 試問：
題組圖片
📝 此題為申論題，共 4 小題

小題 (一)

若要取樣該訊號則最小取樣頻率為何？（10 分）

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看到求「最小取樣頻率」，應立即聯想到「Nyquist 取樣定理」。首先觀察頻譜圖找出訊號的最高頻率成分，再將其乘以二即可得到答案（即 Nyquist rate）。

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【解題思路】利用 Nyquist 取樣定理，從頻譜圖找出訊號的最高頻率成分，再乘以 2 即可求得最小取樣頻率（Nyquist rate）。 【詳解】 已知：由題目的頻譜圖 $X(f)$ 可知，訊號 $x(t)$ 的頻譜非零區間介於 $-10 \text{ Hz}$ 至 $10 \text{ Hz}$ 之間。

小題 (二)

若取樣頻率為最小取樣頻率，取樣後在時間上的訊號模型為何？（5 分）

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考生看到此題應先由頻譜圖找出訊號的最高頻率 W，接著利用奈奎斯特取樣定理計算出最小取樣頻率 fs 與取樣週期 Ts。最後，寫出理想取樣（Ideal Sampling）在時域上的數學模型，即原訊號與週期性脈衝序列（Impulse Train）相乘的表達式，若能進一步將原訊號 x(t) 反推代入會更完整。

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【解題思路】利用奈奎斯特取樣定理求得取樣週期 Ts，並以理想取樣模型（原訊號乘上單位脈衝串）表示取樣後的時域訊號。 【詳解】 已知：由 X(f) 頻譜圖可知，該訊號為基頻訊號，其最高頻率限制為 W = 10 Hz。

小題 (三)

承第(二)小題，該訊號的頻譜響應為何？（5 分）頻譜圖又為何？（5 分）

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  1. 分析給定的頻譜圖形，確定其為基頻（Baseband）訊號，找出關鍵參數：最大振幅、正負截斷頻率（即頻寬）。
  2. 面對「頻譜響應」的要求，需以嚴謹的數學方程式（分段函數或絕對值函數）將圖形解析化；「頻譜圖」則需精確描述圖形的座標軸意義與頻域特徵。
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【解題思路】利用數學分段函數或標準三角函數（Triangle function）表示法，將圖形轉換為解析式；並以文字精確描述頻譜的物理意義與幾何特徵。 【詳解】 （註：因題目未提供「第(二)小題」之具體訊號處理條件——如取樣、調變或濾波，以下針對題目背景給定之原訊號 $x(t)$ 的頻譜 $X(f)$ 進行完整解析。）

小題 (四)

計算 s(t) 的傳輸頻寬。

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看到計算 AM 傳輸頻寬，首先應分析訊息訊號 m(t)，找出其最高頻率成分（即基頻頻寬 W）。接著套用標準振幅調變（AM）的雙邊帶特性，使用頻寬公式 B_T = 2W 即可求得答案。

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【解題關鍵】標準振幅調變（AM）的傳輸頻寬為訊息訊號最高頻率的兩倍（B_T = 2W）。 【解答】 計算：

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