高考申論題
112年
[統計] 抽樣方法
第 二 題
📖 題組：
欲了解2022年國內汽車銷售概況，就2000家汽車銷售業者進行調查，汽車銷售業者分為兩大類：國產型（I）及進口型（II），業者家數分別為N1=1500及N2 =500。抽樣方法採用分層隨機抽樣，依類別分層，從每一層分別隨機抽出10家業者進行調查。假設2021年（x）各類業者的年平均銷售量已知為： X1=220（輛）；X2=140（輛）。 調查結果20家業者在2021年（x）及2022年（y）的銷售量統計如下： 層別（h） | 變數 | 樣本均數 yi, xi（輛） | 比率（R̂h） | 樣本共變異數 sxyh | 樣本標準差 sh I | y | 240 | 1.2 | 7200 | 100 I | x | 200 | | | 80 II | y | 180 | 1.8 | 2200 | 60 II | x | 100 | | | 40 合計 | | sy=110, sx=90, sxy=9000
欲了解2022年國內汽車銷售概況，就2000家汽車銷售業者進行調查，汽車銷售業者分為兩大類：國產型（I）及進口型（II），業者家數分別為N1=1500及N2 =500。抽樣方法採用分層隨機抽樣，依類別分層，從每一層分別隨機抽出10家業者進行調查。假設2021年（x）各類業者的年平均銷售量已知為： X1=220（輛）；X2=140（輛）。 調查結果20家業者在2021年（x）及2022年（y）的銷售量統計如下： 層別（h） | 變數 | 樣本均數 yi, xi（輛） | 比率（R̂h） | 樣本共變異數 sxyh | 樣本標準差 sh I | y | 240 | 1.2 | 7200 | 100 I | x | 200 | | | 80 II | y | 180 | 1.8 | 2200 | 60 II | x | 100 | | | 40 合計 | | sy=110, sx=90, sxy=9000
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
求算估計量 y_st、y_Rs、y_Rc 對單位均數估計量（y）之相對效率（relative efficiency），並說明那個估計量具有較佳精確度。（10分）
思路引導 VIP
本題要求計算相對效率 (Relative Efficiency, RE) 並比較精確度。
- 相對效率定義為基準變異數與被比較變異數之比： $RE = \frac{V(\bar{y}{st})}{V(Estimator)}$，以 $\bar{y}{st}$ 作為基準（即題意中的單位均數估計量）。
小題 (一)
利用下列估計量估計年平均銷售量（Y ）及該估計量的變異數：（15分）
(1) y_st，分層隨機抽樣結合簡單均數估計量（mean per unit estimator）。
(2) y_Rs，分層隨機抽樣結合分開比率估計量（separate ratio estimator）。
(3) y_Rc，分層隨機抽樣結合混合比率估計量（combined ratio estimator）。
(1) y_st，分層隨機抽樣結合簡單均數估計量（mean per unit estimator）。
(2) y_Rs，分層隨機抽樣結合分開比率估計量（separate ratio estimator）。
(3) y_Rc，分層隨機抽樣結合混合比率估計量（combined ratio estimator）。
思路引導 VIP
本題測試分層抽樣下的三種估計量算法（簡單平均、分開比率、混合比率）：
- 取得基本權重：$W_1 = 1500/2000 = 0.75$；$W_2 = 500/2000 = 0.25$。$n_1=10, n_2=10$。