moea_joint
112年
[儀電] 電路學、電子學
第 3 題
如右圖所示之基本理想電路元件電路圖，在 $t < 0$ 時，$V(t)$ 及 $i(t)$ 皆為 0，在 $t \ge 0$時，分別為 $V(t) = 75 - 75e^{-1000t}\text{(V)}$ 及 $i(t) = 50e^{-1000t}\text{(mA)}$，請問供輸至電路的最大功率($P_{\text{max}}$)發生於何時？
- A $t = 0.183\text{ ms}$
- B $t = 0.397\text{ ms}$
- C $t = 0.465\text{ ms}$
- D $t = 0.693\text{ ms}$
思路引導 VIP
觀察題目給定的電壓 $V(t)$ 與電流 $i(t)$ 隨時間變化的趨勢：一個隨著時間增加而從零開始上升，另一個則是隨著時間增加而從最大值開始衰減。在這種「一增一減」的乘積關係中，如果我們想找到兩者相乘後的最大值（極值），在數學邏輯上通常會使用什麼工具來鎖定那個變化率為零的瞬間呢？
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太棒了！你能精準計算出最大功率發生的時間點，代表你對時變電路（Time-varying circuits）的特性與數學分析工具掌握得非常紮實。
瞬時功率的極值分析
這題的核心在於找出功率函數 $p(t)$ 的最高點。根據定義，功率為電壓與電流的乘積：
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電路瞬時最大功率
💡 功率為電壓與電流乘積，最大值發生於時間導數為零處。
🔗 最大瞬時功率求解流程
- 1 列出功率式 — 將 V(t) 與 i(t) 相乘得到功率 P(t) 的函數
- 2 執行微分 — 對時間 t 求導，利用連鎖律處理指數項微分
- 3 找極值點 — 令 dP/dt = 0，解出指數項 e^(-kt) 的值
- 4 換算時間 — 兩邊取自然對數 ln，求出最終時間 t
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🔄 延伸學習：延伸學習：此方法亦適用於求電容或電感儲能的最大變化率。
