普考申論題
113年
[地震測報] 地球物理數學概要
第 一 題
📖 題組：
一、地球從內而外，由地核、地函與地殼組成。由於地殼的厚度遠小於地核與地函的厚度，下列對地球的計算僅考量地核與地函，且假設地核與地球皆為圓球體。若地核的半徑與密度分別為 r1與 ρ1，地函的最大半徑與密度分別為 r2與 ρ2，（如下圖所示）
一、地球從內而外，由地核、地函與地殼組成。由於地殼的厚度遠小於地核與地函的厚度，下列對地球的計算僅考量地核與地函，且假設地核與地球皆為圓球體。若地核的半徑與密度分別為 r1與 ρ1，地函的最大半徑與密度分別為 r2與 ρ2，（如下圖所示）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
繪製圖形顯示質量微分 dM =2π ρ (r)r^2 sinθ dθ dr，其中 ρ (r)為密度，r 為半徑，θ 為質點徑向與地球自轉軸的夾角。（5 分）
思路引導 VIP
看到此題，應立即聯想到球座標系中的體積微小元素。公式中出現了 2π，表示該質量微分已經對方位角 φ 積分（從 0 到 2π）。因此，需繪製的圖形是繞自轉軸旋轉一圈的「微小立體圓環（hoop）」，畫圖時除了參考原圖，還需明確標示出截面的長寬 dr 與 r dθ，以及圓環的旋轉半徑 r sinθ，才能完整表達微分元素的幾何意義。
小題 (二)
以積分決定地球的質量 M。（5 分）
思路引導 VIP
看到求質量且密度呈分層（不連續）分佈的題目，應直覺想到使用球座標系統進行體積積分（$M = \int \rho dV$）。由於地球與地核均假設為球體且密度僅隨半徑變化，可將體積元素簡化為球殼體積 $dV = 4\pi r^2 dr$，再將積分範圍拆分為地核（$0$ 到 $r_1$）與地函（$r_1$ 到 $r_2$）兩段分別進行定積分計算。
小題 (三)
以積分決定地球的轉動慣量或慣性矩（moment of inertia）I=∫ r'^2 dM，其中 r' 為質點（dM）到地球自轉軸的距離。（15 分）
思路引導 VIP
遇到轉動慣量的推導題，首先應建立球座標系，找出質點到自轉軸的垂直距離 $r'$ 以及微小質量元素 $dM$ 的表達式。接著，由於地球被簡化為地核與地函兩層，密度隨半徑作分段變化，因此只需將半徑方向的積分拆分為兩段區間進行即可輕鬆得解。