普考申論題
110年
[地震測報] 地球物理數學概要
第 一 題
📖 題組：
長方形塊體的厚度為 t，其斷層長度為 L，斷層傾角為 θ。當此正斷層向下滑動時，其斷層水平方向移動的距離為 e，沿斷層面移動的距離為 m。若此正斷層受到重力滑動的功 W 與斷層長度 L 以及斷層面移動的距離 m 成正比，亦即 W = α L m，其中 α 為正比常數。 （一）證明正斷層受到重力滑動的功 W(θ) = 2αte / sin(2θ)。（5 分） （二）對正斷層滑動的功 W 進行一次微分，以決定斷層滑動的最佳傾角。（10 分） （三）對正斷層滑動的功 W 進行二次微分，以判定上述最佳斷層傾角為最小重力滑動的功所造成。（10 分）
長方形塊體的厚度為 t，其斷層長度為 L，斷層傾角為 θ。當此正斷層向下滑動時，其斷層水平方向移動的距離為 e，沿斷層面移動的距離為 m。若此正斷層受到重力滑動的功 W 與斷層長度 L 以及斷層面移動的距離 m 成正比，亦即 W = α L m，其中 α 為正比常數。 （一）證明正斷層受到重力滑動的功 W(θ) = 2αte / sin(2θ)。（5 分） （二）對正斷層滑動的功 W 進行一次微分，以決定斷層滑動的最佳傾角。（10 分） （三）對正斷層滑動的功 W 進行二次微分，以判定上述最佳斷層傾角為最小重力滑動的功所造成。（10 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
證明正斷層受到重力滑動的功 W(θ) = 2αte / sin(2θ)。
思路引導 VIP
看到這題，首先要將幾何圖形中的物理量（L, m）用題目所給的變數（t, e, θ）表示出來。利用基本三角函數關係找出 L 和 m 的表達式，代入功的公式 W = αLm，最後透過三角恆等式（二倍角公式）化簡即可完成證明。
小題 (二)
對正斷層滑動的功 W 進行一次微分，以決定斷層滑動的最佳傾角。
思路引導 VIP
- 看到題目要求尋找「最佳傾角」，應立即聯想到微積分中的極值尋找方法，亦即對目標函數求一次導數並令其為零。2. 將第一小題的函數 W(θ) = 2αte / sin(2θ) 視為目標函數，運用連鎖律對 θ 進行微分。3. 解出 dW/dθ = 0 的臨界點，並根據地質學中正斷層的合理物理範圍（0° < θ < 90°）找出最終答案。
小題 (三)
對正斷層滑動的功 W 進行二次微分，以判定上述最佳斷層傾角為最小重力滑動的功所造成。
思路引導 VIP
本題主要測試極值判定的概念。需接續前一題的一階導數結果，對功 W(θ) 進行二次微分，並將臨界點（最佳傾角 θ = 45°）代入二階導數中。若二階導數大於零，根據微積分的極值判定法，即可證明該角度對應的功為極小值。