普考申論題
113年
[地震測報] 地球物理數學概要
第 二 題
二、熱方程式 ut(x, t) = αuxx(x, t)，其中 α 為熱擴散係數，且為定值。若此熱方程式邊界條件為 u(0, t) = 0 ; u(L, t) = 0 與初始條件為 u(x, 0) = f (x)，求解 u(x, t)。（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到這類一維偏微分方程式（熱傳導）加上齊次邊界條件的題目，應直覺想到使用「分離變數法」。先將解假設為空間與時間函數的乘積以拆解PDE，利用邊界條件求得特徵值與空間特徵函數，最後透過疊加原理與傅立葉正弦級數代入初始條件，計算出最終常數。
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【解題思路】使用分離變數法（Separation of Variables）將偏微分方程式化為常微分方程式，再結合傅立葉級數（Fourier Series）求解。 【詳解】 已知：
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