普考申論題
110年
[地震測報] 地球物理數學概要
第 四 題
若訊號 f (t) 的取樣間距為 ∆t，則其取樣時間 t = n∆t, n = -∞, … , -1, 0, 1, …, ∞。至於取樣定理的奈奎斯特頻率（Nyquist frequency）fN 亦應滿足角頻率 w ∈ (-2π fN, 2π fN)。從離散化訊號 f (n∆t) 的傅立葉轉換代入傅立葉反轉換，證明奈奎斯特頻率 fN = 1 / (2∆t)。（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題考查取樣定理中奈奎斯特頻率的數學推導。解題關鍵在於根據題目提示，將離散化訊號的傅立葉轉換展開式直接代入限制在奈奎斯特頻帶的傅立葉反轉換積分中。藉由要求在各個取樣點能「完美還原訊號」（即利用正交性使交叉項積分為 0），即可解出正弦函數的根，進而證明 fN = 1/(2Δt)。
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
【解題思路】利用離散訊號的傅立葉轉換代入傅立葉反轉換公式，透過要求在不同取樣點間的正交性（積分為 0），推導出奈奎斯特頻率與取樣間距的數學關係。 【詳解】 已知：
▼ 還有更多解析內容
奈奎斯特頻率證明
💡 利用離散傅立葉轉換的正交性，導出無失真取樣之頻率下限。
🔗 奈奎斯特頻率數學推導流程
- 1 DTFT 級數展開 — 將離散訊號表示為頻域級數和
- 2 反轉換積分 — 於限制頻帶內對級數進行定積分
- 3 正交性判別 — 確保不同取樣點間積分為零以防干擾
- 4 導出臨界條件 — 利用 sin(x)=0 求解 fN = 1 / (2Δt)
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：了解如何透過低通濾波器還原原始連續訊號。
