普考申論題
109年
[地震測報] 地球物理數學概要
第 二 題
二、試求一在xy 平面上通過點(1,1)，且與直線 y = x 垂直正交，並滿足方程式 xy'' + 2y' = 0 之曲線。（15分）
📝 此題為申論題
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這是一道結合常微分方程求解與幾何條件的題目。首先，觀察方程式 $xy'' + 2y' = 0$ 缺 $y$ 項，可令 $u = y'$ 降階為一階線性微分方程式求解。接著，利用『通過點 (1,1)』建立常數關係，並利用『與直線 y=x 垂直正交』代表在交點 (1,1) 的切線斜率相乘為 -1，以此求出特解。
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【解題思路】利用變數代換法將二階常微分方程降階求解，再代入邊界條件（通過特定點）與正交條件（切線斜率相乘為 -1）求得積分常數。 【詳解】 已知：方程式為 $xy'' + 2y' = 0$，曲線通過點 $(1,1)$，且在該點與直線 $y = x$ 垂直正交。
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