普考申論題 113年 [機械工程] 機械力學概要

第二題

📖 題組：
河寬 2 km，河水以 0.3 km/h 往右流動如下圖。一泳客由河之一岸 A 點出發，以垂直於並相對河流的速度 1 km/h 朝正對面的 A'點游泳渡河。

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (二)

泳客應如何游才能在抵達對岸時，剛好在 A'點？（10 分）

本題為經典的平面相對運動（2D Kinematics）問題。解題核心在於確立『對地絕對速度向量』必須直指對岸 A' 點，亦即水平方向的絕對速度分量必須為零。藉由 $\vec{V}{絕對} = \vec{V}{相對} + \vec{V}_{水流}$ 的向量合成關係，計算出為抵銷水流所需的偏流角度。

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【解題關鍵】運用相對速度向量方程式：$\vec{V}s = \vec{V}{s/w} + \vec{V}_w$，並設定對地絕對速度在水平方向之分量為零，以滿足直達正對岸的幾何條件。【解答】已知條件整理：

當泳客到達對岸時，距離 A'點多遠？（10 分）

看到這題，首先要想到「相對運動」與「運動獨立性」原理，將速度拆解為互相垂直的渡河方向與水流方向。接著，利用垂直於河流的速度求出渡河總時間，再以該時間乘上水流速度，即可算出泳客偏離目標點的位移。

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【解題關鍵】利用相對運動原理將速度分解為正交的兩個分量，並運用運動的獨立性分別計算渡河時間與水流方向的位移。【解答】計算：

假如泳客因疲倦而無法保持等速，越游越慢，則對(二)的答案應如何調整才能使抵達對岸時，剛好在 A'點？（5 分）

本題測驗相對速度與向量分解的動態觀念。當泳客游速隨時間變慢時，為了抵銷固定的河水流速，必須持續調整游向，將更大比例的速度分量分配在抵抗水流的橫向上。

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【解題思路】利用相對運動原理與速度向量分解，維持水平絕對速度為零以確保直達對岸。【詳解】已知：河水流速 $V_R = 0.3$ km/h（常數）；設泳客相對水流速度為 $V_{S/R}(t)$，與 $AA'$ 軸線夾角（指向上游）為 $\theta(t)$。

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