普考申論題
113年
[電信工程] 通信系統概要
第 一 題
📖 題組：
今有一訊號 x(t) = 10cos(10πt)， 試問：
今有一訊號 x(t) = 10cos(10πt)， 試問：
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
x(t)經過希爾伯（Hilbert）轉換後的訊號x̂(t)為何？（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗希爾伯轉換（Hilbert Transform）的基本概念。希爾伯轉換的作用是在不改變訊號振幅的情況下，將訊號的所有正頻率成分產生 -90度 (-π/2) 的相位移，負頻率產生 +90度 (+π/2) 的相位移。對於基本的餘弦函數 cos(ωt)，經過希爾伯轉換後會直接變成正弦函數 sin(ωt)。
小題 (二)
x̂(t)的傅立葉轉換為何？（5 分）
思路引導 VIP
測驗正弦訊號的傅立葉轉換。利用尤拉公式 sin(ωt) = (e^(jωt) - e^(-jωt)) / (2j)，並對指數項做傅立葉轉換產生 delta 函數。注意分母帶有虛數 j，正頻率項係數為 1/(2j) = -j/2，負頻率項係數為 -1/(2j) = j/2。
小題 (三)
承第(二)小題，如何利用該訊號產生出x(t)的單帶（single-sideband）訊號。（假設未調變訊號為Acos(200πt) ）（10 分）
思路引導 VIP
本題詢問單旁帶（SSB）調變的產生方法。提到利用 x(t) 和其希爾伯轉換 x̂(t) 來產生 SSB，這正是「相移法（Phase-Shift Method）」的核心原理。解題思路：寫出 SSB 調變的時域方程式 s_SSB(t) = x(t)cos(ωc t) ∓ x̂(t)sin(ωc t)。接著，解釋這個公式的物理意義：需要將原訊號乘上載波，並將希爾伯轉換後的訊號乘上相移 90 度的載波（即正弦波），最後將兩者相加（得到下旁帶 LSB）或相減（得到上旁帶 USB）。
小題 (四)
計算出此調變器的輸出功率。
思路引導 VIP
看到調頻（FM）或調相（PM）訊號，首先要聯想到角度調變具有「恆定包絡線（Constant Envelope）」的特性。無論訊息訊號 m(t) 的波形與積分有多複雜，只要載波振幅 A 不變，即可直接使用弦波平均功率公式 P = A²/2 快速求解。