高考申論題 113年 [天文] 近代物理

第一題

📖 題組：
有一高爾夫球的靜止質量為 m、速率為 v。以近代物理的觀點、包括相對論效應，回答以下問題：（每小題 10 分，共 20 分）

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

其等效質量、動量及動能分別為何？

看到相對論效應，首要步驟是引入勞侖茲因子 γ = [1-(v/c)^2]^(-1/2)。接著運用狹義相對論的定義：等效質量為 γm，相對論性動量為 γmv，而動能則是總能量與靜止能量的差值，即 (γ-1)mc^2。

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【解題思路】引入勞侖茲因子（Lorentz factor），利用狹義相對論的質能等價原理與動量定義，推導出等效質量、動量及動能的精確數學表達式。【詳解】已知高爾夫球的靜止質量為 $m$，在觀察者座標系（實驗室座標系）中等速運動的速率為 $v$。設真空中的光速為 $c$。

將之視為物質波時，其波長為何？

看到「物質波波長」直覺聯想德布羅意公式（λ = h/p）。題目明示需包含「相對論效應」，因此動量 p 必須使用相對論動量公式 p = γmv 代入計算，而非古典力學的 p = mv。

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【解題思路】結合德布羅意（de Broglie）物質波假說與狹義相對論的動量定義進行代數推導。【詳解】已知：高爾夫球靜止質量為 m，運動速率為 v，設普朗克常數為 h，真空中光速為 c。