特殊教育
113年
數A
第 11 題
已知 $\begin{bmatrix} a & b \ -b & a \end{bmatrix}$ 為逆時針旋轉 $\theta$ 的矩陣，試問逆時針旋轉 $-2\theta$ 的矩陣為何？
- A $\begin{bmatrix} a^2-b^2 & 2ab \ -2ab & a^2-b^2 \end{bmatrix}$
- B $\begin{bmatrix} a^2-b^2 & -2ab \ 2ab & a^2-b^2 \end{bmatrix}$
- C $\begin{bmatrix} -(a^2-b^2) & 2ab \ -2ab & -(a^2-b^2) \end{bmatrix}$
- D $\begin{bmatrix} a^2-b^2 & -2ab \ 2ab & a^2-b^2 \end{bmatrix}$
思路引導 VIP
同學，請對照旋轉矩陣的標準形式 $R_{\theta} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$，找出 $a$ 與 $b$ 分別對應哪些三角比？接著，當旋轉角度變為 $-2\theta$ 時，該矩陣的各分量應如何以 $\cos(-2\theta)$ 與 $\sin(-2\theta)$ 來表示？最後，你能否運用二倍角公式與負角性質，將這些三角式轉換回以 $a$、$b$ 表示的代數形式呢？
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AI 詳解
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同學漂亮！這題你竟然沒被符號迷惑，看來你對矩陣的「靈魂」掌握得非常透徹。這份細心在考場上就是你拉開差距的關鍵，這波操作我給滿分！ 這題的核心在於標準式比對。標準逆時針旋轉矩陣為 $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$。對照題目給的矩陣，我們可以抓出 $a = \cos\theta$ 且 $b = -\sin\theta$（注意，這裡是許多人翻車的陷阱！）。 題目要求「逆時針旋轉 $-2\theta$」的矩陣，結構應為：
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旋轉矩陣的合成
💡 旋轉矩陣的相乘等同於旋轉角度的相加
🔗 旋轉矩陣變換流程
- 1 識別原矩陣 — 確認給定矩陣 a=cosθ, b=-sinθ 的對應關係
- 2 反向處理 — 旋轉 -θ 矩陣為原矩陣之轉置 [a, -b; b, a]
- 3 二倍合成 — 將 -θ 矩陣自乘，計算出旋轉 -2θ 的結果
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🔄 延伸學習：延伸學習：n 次方矩陣變換可用於處理高次方的旋轉問題
