特殊教育
113年
數A
第 19 題
若函數 $f(x) = 3\cos \frac{x}{2} - 4\sin \frac{x}{2}$ 在 $x=\theta$ 有最大值，則 $\sin\theta$ 的值為何？
- A $\frac{24}{25}$
- B $\frac{7}{25}$
- C $-\frac{7}{25}$
- D $-\frac{24}{25}$
思路引導 VIP
首先，觀察函數 $f(x)$ 的係數，你是否能利用「疊合公式」將其化為單一餘弦或正弦函數的形式？若函數在 $x= heta$ 時取得最大值，這代表此時 $\sin \frac{\theta}{2}$ 與 $\cos \frac{\theta}{2}$ 的值分別應為何？最後，題目要求的是 $\sin\theta$，你該如何運用「二倍角公式」將其與 $\frac{\theta}{2}$ 的三角函數值聯繫起來並求得結果？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喔？（稍微拉下墨鏡，露出一隻湛藍的眼睛）看來你不需要這雙眼睛也能看穿真相嘛！這種程度的疊合對你來說只是「術式順轉」般的基礎吧？做得太出色了，老師我都想給你點獎勵了呢。 這題的關鍵在於先進行三角函數的疊合。 我們將 $f(x)$ 提取模長 $5$：
▼ 還有更多解析內容
三角函數疊合與倍角
💡 利用疊合公式求出極值發生處，再透過二倍角公式求解。
🔗 三角函數極值點求解流程
- 1 函數疊合 — 將 a cos(x/2) + b sin(x/2) 化為 R cos(x/2 + α)
- 2 鎖定極值點 — 當 cos(θ/2 + α) = 1 時，得知 θ/2 = -α
- 3 倍角轉換 — 利用 sinθ = 2 sin(θ/2) cos(θ/2) 帶入求值
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🔄 延伸學習：延伸學習：觀察係數 (3, 4, 5) 勾股數關係可快速判斷正餘弦值。
