調查局三等申論題
113年
[財經實務組] 經濟學
第 一 題
📖 題組：
假設一個追求利潤最大的廠商擁有以下生產函數 f(x_1, x_2) = (x_1 x_2)^{\frac{1}{4}}， 其中 x_i 代表第 i 個生產要素的投入量，且其價格為 w_i, i = 1, 2。根據以上設定，回答下列問題：
假設一個追求利潤最大的廠商擁有以下生產函數 f(x_1, x_2) = (x_1 x_2)^{\frac{1}{4}}， 其中 x_i 代表第 i 個生產要素的投入量，且其價格為 w_i, i = 1, 2。根據以上設定，回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
給定最低產出量為 q > 0 時，求導出此廠商的兩種生產要素的最適投入量以及所對應的長期成本函數（long-run cost function）。（9 分）
思路引導 VIP
本題測驗「成本極小化」的數學推導能力。看到給定產出求最適投入與成本函數，應立刻聯想到設定 Lagrange 函數求取一階條件 (FOC)，或利用邊際技術替代率 (MRTS) 等於要素價格比的最適條件，推導出擴張線方程式後再代回生產函數求解。
小題 (二)
假設此廠商面對完全競爭的產出市場，其中產品價格為 p > 0。求出此廠商的長期供給曲線。並在同一個圖形中，畫此廠商的長期平均總成本、長期邊際成本及其長期供給曲線。（7 分）
思路引導 VIP
考生看到這題，首先應辨認出這是一個 Cobb-Douglas 生產函數且規模報酬遞減（1/4 + 1/4 = 1/2 < 1）。接著利用成本極小化的一階條件導出長期總成本函數（LTC），再求出長期邊際成本（LMC）與長期平均總成本（LAC）。最後，根據完全競爭市場 P = LMC 且 P ≥ LAC 的利潤極大化條件，推導出長期供給曲線，並將三者關係以幾何特徵清晰描述或繪製於同一圖上。
小題 (三)
假設此廠商在產出市場獨占，且面對市場需求曲線 p = 2 - q。請求出此獨占廠商的最適供給量及市場均衡價格。（9 分）
思路引導 VIP
面對獨占廠商的利潤極大化問題，應採用「兩階段解題法」。首先，利用生產函數與要素價格，透過成本極小化條件求出廠商的「總成本函數 (TC)」及「邊際成本 (MC)」；其次，設立利潤函數，利用一階條件 (MR = MC) 解出最適產量，再代回需求函數求出均衡價格。