調查局三等申論題
113年
[財經實務組] 經濟學
第 一 題
📖 題組：
假設當某消費者消費 x 單位的 X 物品及 y 單位的 Y 物品時，所得到的滿足程度為 U(x, y) = x^\alpha y^\beta, \alpha, \beta \in (0,1), 0 < \alpha + \beta < 1。另外，此消費者的所得為 I > 0，X 物品的單位價格為 p_x > 0，且 Y 物品的單位價格為 p_y > 0。根據以上設定回答下列問題：
假設當某消費者消費 x 單位的 X 物品及 y 單位的 Y 物品時，所得到的滿足程度為 U(x, y) = x^\alpha y^\beta, \alpha, \beta \in (0,1), 0 < \alpha + \beta < 1。另外，此消費者的所得為 I > 0，X 物品的單位價格為 p_x > 0，且 Y 物品的單位價格為 p_y > 0。根據以上設定回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
假設此消費者追求效用最大。求導出此消費者購買正值的 X 物品及正值的 Y 物品的 Marshallian demands，以及其所對應的間接效用函數（indirect utility function）。（9 分）
思路引導 VIP
本題測驗消費者最適選擇的基礎數學推導能力。解題核心在於設立拉格朗日函數（Lagrangian），透過最優化一階條件（FOC）求出邊際替代率（MRS）等於價格比的均衡條件，再代入預算線求得兩財貨的馬歇爾需求函數，最後代回效用函數即可導出間接效用函數。
小題 (二)
給定最低效用滿足程度 u > 0，假設此消費者追求購買兩種物品的總支出最小。求導出此消費者購買 X 及 Y 物品的 Hicksian demands，以及其所對應的支出函數（expenditure function）。（9 分）
思路引導 VIP
本題測驗消費者理論中的「支出最小化對偶問題」。看到給定效用求極小支出，應立即聯想到設立拉格朗日函數（Lagrangian）。解題步驟：先從一階條件（FOCs）推導出邊際替代率（MRS）與價格比的關係，接著代回效用限制式解出希克斯需求函數（Hicksian demands），最後將需求函數代入總支出方程式，並展現扎實的指數化簡基本功，即可求得完美的支出函數。
小題 (三)
根據(一)及(二)的答案，以 X 物品為例，證明 Marshallian demands 及 Hicksian demands 滿足對偶定理（duality theorem）。（7 分）
思路引導 VIP
對偶定理（Duality Theorem）的核心在於證明「效用極大化」與「支出極小化」是一體兩面。解題應先根據效用函數列出馬歇爾需求、希克斯需求、間接效用函數與支出函數，接著利用代入法分別證明 $x(p, E(p,U)) = h(p,U)$ 以及 $h(p, V(p,I)) = x(p,I)$，展現嚴謹的代數化簡能力。