高考申論題
114年
[工業工程] 工程統計學與品質管制
第 一 題
📖 題組：
二、某電動車製造商估計，以其生產的電動車通勤，每天行駛 80 公里後，晚上需充電約 1 小時 45 分鐘（105 分鐘）。假定此電動車的電池充電實際所需時間是介於 90 至 120 分鐘的均勻分配。（每小題 5 分，共 20 分）
二、某電動車製造商估計，以其生產的電動車通勤，每天行駛 80 公里後，晚上需充電約 1 小時 45 分鐘（105 分鐘）。假定此電動車的電池充電實際所需時間是介於 90 至 120 分鐘的均勻分配。（每小題 5 分，共 20 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
寫出電池充電時間的機率密度函數的數學式。
思路引導 VIP
看到「均勻分配」，首先要找出區間的下限(a)與上限(b)，並記得連續型均勻分配的機率密度函數 (PDF) 高度為 1/(b-a)。作答時務必先明確定義隨機變數 X，且 PDF 的數學式必須完整利用分段函數寫出非零區間與其他範圍 (等於 0) 的條件才算嚴謹。
小題 (二)
寫出電池充電時間小於 110 分鐘的機率是多少？
思路引導 VIP
首先，確認隨機變數的定義與其服從的機率分配，本題明確指出為連續型均勻分配（Continuous Uniform Distribution）。接著，寫出均勻分配的機率密度函數，並利用給定區間長度與總區間長度的比例關係，計算該事件的機率值。
小題 (三)
寫出電池充電時間至少要 100 分鐘的機率是多少？
思路引導 VIP
看到「均勻分配」的題型，首要任務是明確定義連續隨機變數 $X$ 以及區間的上下界參數 $a$ 與 $b$，並寫出機率密度函數（PDF）。計算「至少」某數值的機率時，只需計算該數值到上限 $b$ 之間的區間長度占總區間長度的比例（即定積分運算）。
小題 (四)
寫出電池充電時間介於 95 至 110 分鐘的機率是多少？
思路引導 VIP
看到均勻分配題型，首要步驟是明確定義隨機變數 $X$ 及其機率密度函數（pdf），寫出上下限參數 $a$ 與 $b$。接著利用積分或直接帶入均勻分配的區間機率公式 $P(c < X < d) = \frac{d-c}{b-a}$ 求出特定區間的機率。
均勻分配機率計算
💡 連續型均勻分配的機率即為指定區間長度佔總長度的比例。
- 定義機率密度函數 (PDF) 須註明定義域範圍 a ≤ x ≤ b。
- 均勻分配 PDF 為 f(x) = 1 / (b - a)，其餘區域為 0。
- 計算區間機率 P(c < X < d) 之公式為 (d - c) / (b - a)。
- 機率計算與端點是否包含（實點或虛點）在連續型分配中無差異。
