高考申論題 105年 [工業工程] 工程統計學與品質管制

第二題

📖 題組：
假設某標榜快速服務的修車廠對於進廠進行例行保養汽車的服務時間服從指數分配（exponential distribution），平均是 40 分鐘。（每小題 10 分，共 20 分）

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (二)

某日共有 100 部進行例行保養的汽車（假設車子之間的服務時間彼此獨立），請問至少有 20 部車的服務時間超過 60 分鐘的機率為何（請使用常態分配逼近求算近似機率值）？

本題結合了『指數分配的機率計算』與『常態逼近二項分配』兩大考點。首先需計算出單部車服務時間超過 60 分鐘的機率 p，接著定義 100 部車中超過 60 分鐘的車數服從二項分配 B(100, p)，最後利用常態逼近並加入連續性修正（Continuity Correction）來求得最終的近似機率。

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【解題關鍵】先由指數分配求出單次事件機率，再將問題轉化為二項分配，最後利用常態分配搭配連續性修正求出近似機率。【解答】 Step 1：計算單部汽車服務時間超過 60 分鐘的機率 $p$

請問對任一進行例行保養的汽車而言，服務時間超過 60 分鐘的機率為何（e ≈ 2.7183）？

看到題目指明「指數分配」與「平均數」，首要任務是定義機率變數 X 並求出率參數 λ（λ = 1/μ）。接著，利用指數分配的存活函數（Survival Function）P(X > x) = e^(-λx) 特性，直接代入數值與給定的 e 近似值求解即可。

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【解題關鍵】明確定義指數分配之機率變數與率參數 λ，並利用其存活函數（Survival Function）或累積分配函數（CDF）推導目標機率。【解答】 Step 1 定義機率變數與參數：

附表一標準常態分配表

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