高考申論題
114年
[水利工程] 水文學
第 一 題
📖 題組：
假設某一河道的尖峰流量符合極端值第一類分布，其過去 30 年最大流量監測資料的平均值為 800 cms，標準偏差為 153.3 cms。該河道正興建一個依據 1000 cms 的洪水事件設計的臨時防洪堤防，用以保護鄰近區域之 5 年的工程計畫，試計算此區域： (一)5 年內洪水都不會超越該堤防溢堤之機率？（8 分） (二)5 年內至少一次洪水會超越該堤防溢堤之機率？（8 分） (三)5 年內只在第 3 年和第 4 年洪水會超越該堤防溢堤之機率？（9 分） （極端值第一類分布其頻率因子 K 與迴歸期 T 滿足此關係式：K = -\frac{\sqrt{6}}{\pi} \{0.5772 + \ln[\ln(\frac{T}{T-1})]\}）
假設某一河道的尖峰流量符合極端值第一類分布，其過去 30 年最大流量監測資料的平均值為 800 cms，標準偏差為 153.3 cms。該河道正興建一個依據 1000 cms 的洪水事件設計的臨時防洪堤防，用以保護鄰近區域之 5 年的工程計畫，試計算此區域： (一)5 年內洪水都不會超越該堤防溢堤之機率？（8 分） (二)5 年內至少一次洪水會超越該堤防溢堤之機率？（8 分） (三)5 年內只在第 3 年和第 4 年洪水會超越該堤防溢堤之機率？（9 分） （極端值第一類分布其頻率因子 K 與迴歸期 T 滿足此關係式：K = -\frac{\sqrt{6}}{\pi} \{0.5772 + \ln[\ln(\frac{T}{T-1})]\}）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
5 年內洪水都不會超越該堤防溢堤之機率？（8 分）
思路引導 VIP
本題重點在於串聯「頻率因子法」與「二項式分布」計算水文風險。首先由設計流量、平均值及標準差求出頻率因子 K，代入極端值第一類分布（Gumbel 分布）公式反推迴歸期 T；接著利用 T 算出單年超越機率 p 與不超越機率 q，最後以可靠度公式 q^n 求出工程期間皆不溢堤的機率。
小題 (二)
5 年內至少一次洪水會超越該堤防溢堤之機率？（8 分）
思路引導 VIP
本題為標準的水文風險計算題。考生應先利用極端值第一類分布公式反求頻率因子 K，再代入題目給定的 K 與 T 關係式求出迴歸期 T 及單年超越機率 p。最後套用「水文風險公式」計算 n 年內至少發生一次的機率。
小題 (三)
5 年內只在第 3 年和第 4 年洪水會超越該堤防溢堤之機率？（9 分）
思路引導 VIP
考生首先需利用極端值第一類（Gumbel）分布公式與給定的頻率因子關係式，反推出 1000 cms 洪水的迴歸期 T 與每年超越機率 P。接著務必注意陷阱：題目問的是「只在第 3 年和第 4 年」這組特定的發生序列，而非二項式分布的「任意 2 年」，因此不需乘以組合係數，直接將各年獨立事件的機率依序相乘即可。
洪水頻率與水文風險
💡 運用極端值分布求得回歸期後，結合二項分布計算工程風險與可靠度。
🔗 水文風險分析計算流程
- 1 參數分析 — 依觀測資料之平均值與標準差，結合分布函數求出頻率因子 K。
- 2 確定回歸期 — 帶入設計流量 XT，求得對應的回歸期 T 與年超越機率 P=1/T。
- 3 機率模式選擇 — 依據題目情境（皆不發生、至少一次、特定年份）套用二項分布。
- 4 風險評估 — 產出工程期限內的溢堤機率，作為工程設計與防災依據。
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🔄 延伸學習：延伸學習：不同機率分布（如 Pearson Type III）在水文頻率分析中的應用差異。
