高考申論題
114年
[經建行政] 統計學
第 四 題
📖 題組：
依據調查，臺灣 18 歲以下青少年近視比率為 87.2%。若對全國 18 歲以下青少年進行簡單隨機抽樣，試回答下列問題： (一)隨機抽取 8 人，隨機變數 X 代表近視的人數，寫出 X 的機率分配函數。（6 分） (二)承(一)，計算會抽到超過 2 人為近視的機率（亦即 P(X > 2)）。（6 分） (三)隨機抽取 1000 人，剛好 880 人為近視的機率（請以常態分配機率近似）。（12 分） (四)若隨機變數 Y 為抽到第十位為近視者的人數，寫出 Y 的機率分配函數。（6 分）
依據調查，臺灣 18 歲以下青少年近視比率為 87.2%。若對全國 18 歲以下青少年進行簡單隨機抽樣，試回答下列問題： (一)隨機抽取 8 人，隨機變數 X 代表近視的人數，寫出 X 的機率分配函數。（6 分） (二)承(一)，計算會抽到超過 2 人為近視的機率（亦即 P(X > 2)）。（6 分） (三)隨機抽取 1000 人，剛好 880 人為近視的機率（請以常態分配機率近似）。（12 分） (四)若隨機變數 Y 為抽到第十位為近視者的人數，寫出 Y 的機率分配函數。（6 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (四)
若隨機變數 Y 為抽到第十位為近視者的人數，寫出 Y 的機率分配函數。（6 分）
思路引導 VIP
看到「直到抽出第十位...的人數」，應立即聯想到「負二項分配（Negative Binomial Distribution）」。核心解題邏輯是拆解機率事件：最後一次抽取必為成功，且在前面的 y-1 次抽取中恰好發生 r-1 次成功，依此建立機率分配函數並標明其定義域。
小題 (一)
請檢定三家用戶下次購買相同品牌之洗衣機比例是否全部相等。
⑴列出虛無假設 H0和對立假設 H1。（3 分）
⑵寫出檢定統計量及其在 H0為真下的分配。（5 分）
⑶以臨界值方法決定檢定結果。顯著水準為 0.05。（3 分）
⑷計算 p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為 0.05。（5 分）
⑴列出虛無假設 H0和對立假設 H1。（3 分）
⑵寫出檢定統計量及其在 H0為真下的分配。（5 分）
⑶以臨界值方法決定檢定結果。顯著水準為 0.05。（3 分）
⑷計算 p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為 0.05。（5 分）
思路引導 VIP
本題屬於類別資料的比例齊一性檢定（Test of Homogeneity of Proportions）。解題關鍵在於正確設定虛無與對立假設，計算各細格的期望次數，並利用卡方檢定統計量公式求出檢定值，最後比較臨界值與計算精確或概估之 p 值做出決策。
小題 (二)
若只有 A 和 B 兩種品牌，請檢定 A 和 B 品牌用戶下次購買相同品牌的比例是否相等。
⑴列出 H0和 H1。（3 分）
⑵請使用和(一)不同的檢定統計量，寫出其在 H0 為真下的分配。請說明何以為此分配。（6 分）
⑶計算 p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為 0.05。（5 分）
⑴列出 H0和 H1。（3 分）
⑵請使用和(一)不同的檢定統計量，寫出其在 H0 為真下的分配。請說明何以為此分配。（6 分）
⑶計算 p 值，並據以決定檢定結果。顯著水準為 0.05。（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗兩母體比例差異的檢定。看到檢定比例是否相等，應聯想到「雙樣本 Z 檢定」與等價的「卡方 ($\chi^2$) 齊一性檢定」。依題意要求使用「不同的檢定統計量」，可選用皮爾森卡方檢定作答，並運用中央極限定理說明其漸近卡方分配的性質。
小題 (三)
隨機抽取 1000 人，剛好 880 人為近視的機率（請以常態分配機率近似）。（12 分）
思路引導 VIP
看到「大樣本二項分配求機率」，首要聯想「常態分配近似二項分配」（依據中央極限定理）。此題的得分關鍵在於求離散變數的單點機率（X=880）時，務必要進行「連續性修正」（展開為 879.5 到 880.5 的區間），再求標準常態變數 Z 值。