高考申論題
114年
[電信工程] 電磁學
第 二 題
📖 題組：
一、在自由空間中，有兩條無窮長且均勻的線電荷，其線電荷密度為。如圖一(a)所示，兩根半徑為 a 的圓形截面、對稱且平行的導線，其軸心間距為 d，兩導線上帶有大小相等、方向相反的電荷。假設導線的半徑 a 遠小於導線軸心的距離 d（即 d ≫a）。請計算：（每小題 8 分，共 16 分）
一、在自由空間中，有兩條無窮長且均勻的線電荷，其線電荷密度為。如圖一(a)所示，兩根半徑為 a 的圓形截面、對稱且平行的導線，其軸心間距為 d，兩導線上帶有大小相等、方向相反的電荷。假設導線的半徑 a 遠小於導線軸心的距離 d（即 d ≫a）。請計算：（每小題 8 分，共 16 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
(二)根據上述結果，請求出圖一(b)所示結構的單位長度電容值。該結構為一根半徑為 a 的細導線，平行放置於一塊接地的導體平板。介質為空氣，導線軸心與導體平板的垂直距離為 h（且 h ≫a）。
思路引導 VIP
看到本題，應立刻聯想到「影像電荷法 (Method of Images)」。此結構是一根導線對無限大接地導體平面，依據唯一性定理，此邊界條件問題可以等效為將接地平面移除，並在平面對稱側（距離 $h$ 處）放置一條帶有相反電荷的「影像導線」。此時系統完全等價於子題(一)的雙導線結構，且兩線間距為 $d = 2h$。需要注意的是，所求為導線與接地平板間的電容，因此其電位差僅為雙導線電位差的一半。
小題 (一)
(一)此兩條導線的單位長度電容值（capacitance per unit length）。
思路引導 VIP
看到本題，首先要辨識出考點為靜電學中的「雙線傳輸線電容計算」。接著應該從高斯定律出發，先求出單一無限長線電荷所產生的電場，再利用重疊定理計算兩條導線在空間中任一點產生的總電場。隨後，將電場沿著兩導線的最短路徑進行線積分以求出兩導線間的電位差。最後，利用電容定義 $C=Q/V$ (或 $C=\lambda/V$) 求出單位長度的電容。因題目提及 $d \gg a$，在積分極限上可以直接從 $a$ 積分到 $d-a$ (或近似為 $d$)，忽略導線表面的電荷分布不均效應。