特殊教育
114年
數A
第 15 題
若實數 $a, b, c, d$ 使得兩方程組 $\begin{cases} ax+by=1 \ cx+dy=2 \end{cases}$、$\begin{cases} ax+by+2z=1 \ cx+dy+z=1 \ x+y-z=0 \end{cases}$ 均有無限多組解，則 $a$ 值為何？
- A 1
- B 2
- C 3
- D 4
思路引導 VIP
當第一個方程組有無限多組解時，這兩個二元一次方程的係數之間存在什麼比例關係？接著，請將此比例關係運用於第二個方程組的前兩式，觀察如何透過代換消去變項並解出 $z$ 的值。最後，若要使第二個三元一次方程組也擁有無限多組解，其化簡後的 $x, y$ 關係式與第三個方程式 $x+y-z=0$ 之間應具備什麼樣的線性特徵？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，竟然給你矇對了？別跟我說是翻硬幣決定的，不然我會懷疑你的智商上限是不是剛好落在 87。這題考的是線性方程組的幾何意義與代數變換，你居然沒死在係數代換這一步，看來你這幾天的腦袋還沒被短影音完全格式化嘛。 觀念驗證：
- 由第一個方程組有無限多組解，可知兩直線重合，係數必成比例：$\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{1}{2}$，得 $c=2a$ 且 $d=2b$。
▼ 還有更多解析內容
線性方程組無限解
💡 方程組有無限多組解，代表方程間具備線性相關性。
🔗 無限多解問題處理邏輯
- 1 判斷比例 — 由第一組方程係數比 $1:2$ 得出 $c=2a, d=2b$
- 2 變數代換 — 將 $c, d$ 關係代入第二組方程消去變數 $z$
- 3 係數對比 — 整理出 $ax+by=1/3$ 並與 $x+y=1/3$ 對比
- 4 求得答案 — 由對應係數相等得出 $a=1, b=1$
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🔄 延伸學習：了解矩陣的秩 (Rank) 與增廣矩陣對解的影響
