國中教育會考
115年
數學
第 22 題
如圖（十一），平行四邊形 $ABCD$ 中，$\overline{AB}=20$，$\overline{AD}=21$。甲、乙兩人想找一點 $P$，使得 $P$ 到 $\overline{BC}$ 的距離等於 $P$ 到 $\overline{AD}$ 的距離，且 $P$ 到 $\overline{AB}$ 的距離等於 $P$ 到 $\overline{CD}$ 的距離，其作法如下：
【甲】連接 $AC$、$BD$，兩線段相交於 $P$ 點，則 $P$ 即為所求
【乙】作 $\angle C$、$\angle D$ 的角平分線，兩直線相交於 $P$ 點，則 $P$ 即為所求
對於甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？
【甲】連接 $AC$、$BD$，兩線段相交於 $P$ 點，則 $P$ 即為所求
【乙】作 $\angle C$、$\angle D$ 的角平分線，兩直線相交於 $P$ 點，則 $P$ 即為所求
對於甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？
- A 甲、乙皆正確
- B 甲、乙皆錯誤
- C 甲正確，乙錯誤
- D 甲錯誤，乙正確
思路引導 VIP
想一想，如果一個點位在某個角的角平分線上，它到哪兩條邊的距離會相等？如果把這個性質同時用在相鄰的兩個角上，這個交點到哪幾條邊的距離會相等？再結合題目給的鄰邊長度不相等這個條件，思考看看它能不能同時滿足題目要求的距離關係呢？
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平行四邊形的對稱中心
💡 平行線間等距軌跡為中線，交點為對稱中心。
| 比較維度 | 對角線交點 (甲) | VS | 角平分線交點 (乙) |
|---|---|---|---|
| 距離特性 | 到兩組對邊分別等距 | — | 到相鄰三邊等距 |
| 幾何意義 | 平行四邊形的對稱中心 | — | 相鄰兩角平分線必垂直 |
| 適用條件 | 所有平行四邊形皆成立 | — | 僅菱形時等同對稱中心 |
💬甲符合「對邊等距」要求；乙僅能保證到三邊等距，不符題意。
